יש לסדר את המספרים מ 1 עד 15 בשורה, כך שסכום שני מספרים סמוכים יהיה שווה לחזקה שניה של מספר שלם.
רמז דק
רשמו את כל הצירופים האפשריים מהמספרים הנתונים של סכומים השווים למספר שהוא חזקה שניה של מספר שלם.
לאחר מכן יש לסדר את המספרים בהתאם לזמינות הצירופים-צירוף המשתתף רק בסכום אחד חייב להיות בקצה...
רמז עבה
יש 15 צירופים מתאימים שנותנים סכום שהוא חזקה שניה. נחוצים רק 14 זוגות
ולכן יש צירוף אחד שלא ישתתף. צריך להתחיל ולסיים במספר המופיע רק בצירוף אחד ויש שניים כאלה-אחד בכל קצה!
פתרון
הצירופים הם: 10+15=11+14=12+13=25
9+7=10+6=11+5=12+4=13+3=14+2=15+1=16
8+1=7+2=6+3=5+4= 9
1+3=4
8 ו 9 מופיעים רק בצירוף אחד ולכן הם יהיו בכל אחד מהקצוות ובעזרת ניסוי וטעיה לא ארוכים מדי מגיעים לפתרון:
8+1+15+10+6+3+13+12+4+5+11+14+2+7+9
{slider=הידעת?}
הידעת?
המתמטיקאי פרמה שחי במאה ה17 (המשפט האחרון של פרמה) והיה מתמטיקאי חובב
גאון שתרם לענפי מתמטיקה רבים מצא והוכיח שיש רק מספר אחד ששכן אחד שלו
הוא חזקה שניה של מספר טבעי ושכן אחר שלו הוא חזקה שלישית של מספר טבעי.
המספר הוא 26 . שכן אחד שלו הוא המספר 25 השווה לחזקה שנייה של 5 ושכן אחר שלו הוא 27 השווה לחזקה שלישית של 3!
{slider}
תגובות (11)
-
אמיר
להלן הצגת הפתרון הלוגי המלא ( ללא ניסוי וללא טעיה):
מרחב הסכומים בעלי שורש רבועי שלם הרלונטיים לסכום של 2 מספרים מ 1 עד 15 הנו 4 אפשרויות : 4, 9, 16, 25
עבור סכומים אלה ישנן 15 צירופים אפשריים של סכום 2 מספרים מ 1 עד 15 כמפורט:
עבור 4 : 1+3
עבור 9 : 1+8, 2+7, 3+6, 4+5
עבור 16: 1+15 ,2+14 ,3+13 ,4+12 ,5+11 ,6+10 ,7+9
עבור 25: 15+10, 14+11, 13+12
סה"כ בדיוק 15 צירופים שונים, כאשר:
הספרות 8 ן 9 מופיעות פעם אחת
הספרות 1 ו 3 מופיעות 3 פעמים
יתר הספרות מופיעות פעמיים כל אחת
עתה נסכל על סדרת המספרים מ 1 עד 15 שמקיימת את תנאי השאלה:
ישנם בדיוק 14 צמדים שונים, כאשר 2 המספרים בקצוות מופיעים פעם אחת כל אחד ויתר המספרים באמצע מופיעים בדיוק פעמיים ב 2 צמדים עוקבים כל אחד( סכום עם מספר מימין וסכום עם מספר משמאל).
מכאן עולות המסקנות הבאות:
א.מתוך 15 הצירופים השונים האפשריים יש לבטל צירוף אחד בלבד (שכן נדרשים 14 צירופים שונים בלבד להרכבת הסדרה ), ובו בזמן נדרש לבטל פעם אחת את המספר 3 ופעם אחת את המספר 1 ( מס מופיע לכל היותר פעמיים ב 2 צמדים עוקבים)...
מכאן שיש לבטל את הצירוף 1+3 !!!
ב. המספרים 8, 9 המופיעים רק בצמד אחד כל אחד יופיעו בקצוות הסדרה עם בני זוגם ( 8+1, 9+7 )
ומכאן נשבץ את יתר 12 הצמדים באופן חד חד ערכי.... -
בר 9
קודם כל בודקים מה החזקות האפשריות מהמספרים 1-15...כמובן שיש בדיוק 4 כאלו: 4,9,16,25.
עכשיו נבדוק את הצירופים האפשריים בכל חזקה....מהר מאוד רואים שיש 2 מספרים "בעייתיים" שיש להם זוג אחד בלבד כדי ליצור חזקה אפשרית מהחזקות שלנו...המספרים הם: 8, ו-9. מה שאומר שהם יהיו מספרי הקיצון.
לכן התשובה -
8-1-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9
Post comment as a guest