סכום המספרים מ-1 ועד n שווה ל-n כפול (n+1), חלקי 2. זו הנוסחה המפורסמת שגילה גאוס כשהיה ילד.

מספר תלת-ספרתי שכל ספרותיו זהות נראה כך: aaa - כלומר a כפול 111.

נסו לפרק את 111 לגורמים ראשוניים, ותראו משהו מעניין מאוד.

111 = 3 כפול 37, ולכן aaa = 3 · 37 · a.

מהמשוואה n(n+1)/2 = 111a נובע ש-n(n+1) = 222a = 2 · 3 · 37 · a.

אגף שמאל חייב אפוא להתחלק ב-37, ו-37 הוא מספר ראשוני. לכן או ש-n מתחלק ב-37, או ש-n+1 מתחלק ב-37.

עכשיו נותר רק לבדוק אילו כפולות של 37 קטנות מספיק כדי שהסכום יישאר תלת-ספרתי.

נסמן את הסכום ב-S. לפי הנוסחה: S = n(n+1)/2.

אנחנו מחפשים S בצורת aaa, כלומר S = 111a כאשר a היא ספרה בין 1 ל-9.

מכאן: n(n+1) = 222a = 2 · 3 · 37 · a.

המספר 37 ראשוני, ולכן הוא חייב לחלק את n או את n+1.

מצד שני, כדי ש-S יישאר תלת-ספרתי צריך ש-S לא יעלה על 999, כלומר n(n+1) לא יעלה על 1998 - ומכאן ש-n אינו גדול מ-44.

הכפולה היחידה של 37 בתחום הזה היא 37 עצמו. נשארות בדיוק שתי אפשרויות: n = 37, או n + 1 = 37 כלומר n = 36.

נבדוק את שתיהן:

עבור n = 37 מתקבל 37 · 38 / 2 = 703. הספרות אינן זהות.

עבור n = 36 מתקבל 36 · 37 / 2 = 666. שלוש ספרות זהות - וזו התשובה.

התשובה: n = 36, והסכום שקיבל הילד הוא 666.

ולסיום נקודה יפה: 666 הוא המספר המשולשי ה-36 - כלומר בדיוק מספר הכדורים שאפשר לסדר במשולש מלא בן 36 שורות, ממש כמו סידור כדורי הביליארד בתחילת המשחק. והוא גם המספר המשולשי התלת-ספרתי היחיד שכל ספרותיו זהות.