תרגמו את המשפט "הריבוע מסתיים במספר עצמו" לשפה של חשבון.

אם n הוא מספר בן שלוש ספרות, "n בריבוע מסתיים ב-n" פירושו שההפרש בין השניים מתחלק ב-1000 בלי שארית:

n בריבוע, פחות n, מתחלק ב-1000

ואת הביטוי הזה אפשר לפרק לגורמים בקלות. עשו זאת - ותראו לפניכם שני מספרים עוקבים.

הפירוק הוא n כפול (n מינוס 1), כלומר מכפלה של שני מספרים עוקבים.

וכאן נכנס הרעיון המרכזי: לשני מספרים עוקבים אין אף גורם משותף מלבד אחד. הם זרים לחלוטין זה לזה.

עכשיו פרקו את המחלק לגורמים: 1000 = 8 כפול 125, כלומר 2 בשלישית כפול 5 בשלישית.

המכפלה n כפול (n-1) חייבת להתחלק גם ב-8 וגם ב-125. אבל מכיוון ששני הגורמים זרים זה לזה, אי אפשר לפצל אף אחת מהחזקות בין השניים: כל חזקה חייבת להיבלע כולה באחד מהם.

נשארות בדיוק שתי אפשרויות. באחת, 125 מחלק את n ואילו 8 מחלק את n פחות אחת. בשנייה - בדיוק להפך.

שני המספרים הם 376 ו-625.

376 בריבוע = 141376
625 בריבוע = 390625

בשניהם המספר המקורי יושב בדיוק בשלוש הספרות האחרונות.

איך מגיעים אליהם

אפשרות ראשונה: 125 מחלק את n, ו-8 מחלק את n פחות אחת. נכתוב n = 125k ונדרוש ש-125k יישאיר שארית 1 בחלוקה ב-8. מכיוון ש-125 עצמו משאיר שארית 5, מספיק ש-5k ישאיר שארית 1 - וזה קורה כאשר k משאיר שארית 5. הערך היחיד בטווח הוא k שווה 5, ומכאן n = 625.

אפשרות שנייה: 8 מחלק את n, ו-125 מחלק את n פחות אחת. נכתוב n = 125m ועוד 1, ונדרוש שיתחלק ב-8. אותו חשבון בדיוק נותן ש-m משאיר שארית 3, כלומר m שווה 3, ומכאן n = 376.

אלה כל האפשרויות שקיימות - ולכן אלה שני הפתרונות היחידים.

למספרים כאלה יש שם: אוטומורפיים

מספר שריבועו מסתיים בו עצמו נקרא מספר אוטומורפי. הנה המשפחה מסודרת לפי אורך:

ספרה אחת: 5 ו-6
שתי ספרות: 25 ו-76
שלוש ספרות: 625 ו-376
ארבע ספרות: 0625 ו-9376
חמש ספרות: 90625 ו-09376

ואכן: 90625 בריבוע הוא 8,212,890,625 - ובסופו יושב 90625 בשלמותו.

שני דפוסים יפים

ראשית, כל מספר במשפחה מכיל את קודמו. 25 מסתיים ב-5, 625 מסתיים ב-25, 90625 מסתיים ב-625. אותו דבר בטור השני: 6, אחר כך 76, אחר כך 376, אחר כך 9376. כל שלב רק מוסיף ספרה אחת בהתחלה.

שנית - וזה החלק המפתיע - הסתכלו על סכומם של שני האיברים בכל שורה:

5 ועוד 6 שווה 11
25 ועוד 76 שווה 101
625 ועוד 376 שווה 1001
9376 ועוד 625 שווה 10001

תמיד אחד, אפסים, ואחד. וגם זה אינו מקרי: שני הפתרונות הם בדיוק שתי החלוקות האפשריות של אותה מכפלה, ולכן סכומם הוא תמיד 10 בחזקת מספר הספרות, ועוד אחד.

ולמה זה נמשך לנצח

הטיעון שהשתמשנו בו עובד לכל מספר ספרות: 10 בחזקת d הוא תמיד 2 בחזקת d כפול 5 בחזקת d, ותמיד יש בדיוק שתי דרכים לחלק את שתי החזקות בין n לבין n פחות אחת. לכן בכל אורך יש בדיוק שני מספרים אוטומורפיים - והמשפחה אינה נגמרת לעולם.