אל תסתכלו על הספרות עצמן, הסתכלו על המבנה. מספר בן שלוש ספרות שספרותיו a, b, c שווה ל-100a + 10b + c, וההיפוך שלו שווה ל-100c + 10b + a.

מה קורה לספרת העשרות b כשמחסרים ביניהם?

החיסור נותן תמיד 99 כפול ההפרש בין ספרת המאות לספרת האחדות. כלומר התוצאה של הצעד הראשון היא תמיד אחת מתוך רשימה קצרה מאוד: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891.

שימו לב מה משותף לכל שמונת המספרים האלה - ואז יתברר למה החיבור בצעד השלישי חייב לתת מספר אחד ויחיד.

הצעד הראשון: החיסור מוחק את האמצע

נסמן את המספר כ-100a + 10b + c, וההיפוך שלו הוא 100c + 10b + a. החיסור מבטל את ספרת העשרות לחלוטין:

(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99 × (a - c)

הספרה האמצעית פשוט נעלמת. מכיוון שדרשנו ש-a יהיה גדול מ-c בשתיים לפחות, ההפרש a - c הוא מספר בין 2 ל-9, ולכן התוצאה חייבת להיות אחת משמונה אפשרויות בלבד: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891.

הצעד השני: התכונה המשותפת

לכל שמונת המספרים האלה יש בדיוק אותו מבנה: הספרה האמצעית היא תמיד 9, וסכום הספרה הראשונה והאחרונה הוא תמיד 9. בדקו בעצמכם: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5, 5+4, 6+3, 7+2, 8+1.

הצעד השלישי: החיבור

נסמן מספר כזה כ-x9y, כאשר x + y = 9. ההיפוך שלו הוא y9x. נחבר את השניים:

(100x + 90 + y) + (100y + 90 + x) = 101 × (x + y) + 180 = 101 × 9 + 180 = 909 + 180 = 1089

וזהו. לא משנה באיזה מספר התחלתם, אחרי הצעד הראשון נשארתם עם אחד משמונה מספרים בלבד, וכולם מובילים בדיוק לאותו מקום.

ומה קורה כשההפרש הוא 1?

אם ההפרש בין ספרת המאות לספרת האחדות הוא 1 - למשל 322 - החיסור נותן 99, כלומר 099. אם שומרים על שלוש ספרות ומחברים 099 + 990, מקבלים שוב 1089. הדרישה להפרש של שתיים לפחות קיימת רק כדי לא לבלבל את מי שמוחק את האפס המוביל.

קצת רקע

הטריק הזה מוכר בשם "הקבוע 1089" ומופיע בספרי מתמטיקה שעשועים כבר יותר ממאה שנה. גם ל-1089 עצמו יש תכונה נחמדה: 1089 × 9 = 9801 - בדיוק ההיפוך שלו.