המספר 100! (מאה עצרת) הוא המכפלה של כל המספרים השלמים מ-1 עד 100:

100! = 1 × 2 × 3 × ... × 99 × 100

זהו מספר ענק בן 158 ספרות, ואיש אינו מצפה מכם לחשב אותו. השאלה צנועה בהרבה:

בכמה אפסים מסתיים המספר הזה?

רמז דק

אפס נוסף בסוף מספר נוצר בכל פעם שהמספר מתחלק ב-10. ומהו 10? מכפלה של 2 ושל 5.

רמז עבה

בפירוק של 100! לגורמים ראשוניים יש הרבה יותר גורמי 2 מאשר גורמי 5, ולכן מספר האפסים נקבע רק על ידי כמות גורמי ה-5. ספרו אותם - וזכרו ש-25, 50, 75 ו-100 תורמים יותר מגורם 5 אחד כל אחד.

פתרון

נספור כמה פעמים מופיע הגורם 5 במכפלה:

המספרים המתחלקים ב-5 בטווח 1 עד 100: 100 חלקי 5 = 20 מספרים.

מתוכם, המתחלקים גם ב-25 תורמים גורם 5 נוסף: 100 חלקי 25 = 4 מספרים.

אין בטווח זה מספר המתחלק ב-125, ולכן הספירה נעצרת כאן.

סך הכול: 20 + 4 = 24 גורמי 5.

גורמי ה-2 רבים בהרבה (50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97), ולכן לכל גורם 5 יש בן זוג 2 פנוי, וכל זוג כזה יוצר עשרת - כלומר אפס בסוף המספר.

התשובה: 100! מסתיים בדיוק ב-24 אפסים.