מורה כתב על הלוח את כל המספרים השלמים מ-1 ועד מספר מסוים n, כל אחד פעם אחת בלבד: 1, 2, 3, וכן הלאה עד n.

בהפסקה נכנס תלמיד לכיתה, מחק מספר אחד מן הרשימה, ויצא בשקט.

כשחזר המורה הוא חישב את הממוצע של כל המספרים שנשארו על הלוח, וקיבל תוצאה מדויקת: 602 חלקי 17, כלומר 35 ו-7 חלקי 17.

מהו n, ואיזה מספר נמחק מן הלוח?

שימו לב: לכאורה יש כאן שני נעלמים ומשוואה אחת בלבד - ובכל זאת הפתרון יחיד לחלוטין.

רמז דק

הממוצע של כל המספרים מ-1 עד n הוא בדיוק (n+1) חלקי 2. הממוצע שהתקבל אחרי המחיקה הוא כ-35.41.

מחיקת מספר בודד מתוך רשימה ארוכה כמעט אינה מזיזה את הממוצע. אז n צריך להיות קרוב מאוד ל-70.

רמז עבה

אחרי המחיקה נשארו על הלוח n-1 מספרים, ולכן סכומם שווה ל-602 כפול (n-1) חלקי 17.

הסכום חייב להיות מספר שלם. 602 אינו מתחלק ב-17, ולכן דווקא n-1 חייב להתחלק ב-17.

האפשרויות הן n-1 שווה 17, 34, 51, 68, 85 וכן הלאה - כלומר n שווה 18, 35, 52, 69, 86. עכשיו בדקו איזו מהן מתאימה לממוצע של כ-35.41.

פתרון

הממוצע שהתקבל הוא 602 חלקי 17, כלומר 35.4117... הממוצע המקורי של המספרים מ-1 עד n הוא (n+1) חלקי 2.

מכיוון שמחקו מספר אחד בלבד מתוך רשימה ארוכה, הממוצע כמעט לא השתנה. אם n שווה 69, הממוצע המקורי הוא 35 בדיוק - קרוב מאוד לתוצאה.

נבדוק את התנאי הפורמלי: הסכום שנשאר הוא 602 כפול (n-1) חלקי 17, ולכן n-1 מתחלק ב-17. מבין המועמדים 18, 35, 52, 69 ו-86, רק n=69 נותן ממוצע מקורי (35) שממנו אפשר להגיע ל-35.41 במחיקת מספר בודד.

סכום המספרים מ-1 עד 69 הוא 69 כפול 70 חלקי 2, כלומר 2415.

אחרי המחיקה נשארו 68 מספרים, וסכומם 602 כפול 68 חלקי 17 - כלומר 602 כפול 4, שהם 2408.

המספר שנמחק הוא 2415 פחות 2408, כלומר 7.

בדיקה: 2408 חלקי 68 שווה בדיוק 35.4117..., שהם 602 חלקי 17. הפתרון מאומת.

ההברקה בחידה הזאת אינה בחישוב אלא בזיהוי שהמכנה 17 בממוצע הוא בעצם רמז ישיר למספר המספרים שנשארו על הלוח.