צילום: Hellbus, Wikimedia Commons (נחלת הכלל)

חשבו על מספר טבעי שמסתיים בספרה 6.

עכשיו קחו את ה-6 שבסוף והעבירו אותו לראש המספר, כך שכל שאר הספרות נדחקות צעד אחד ימינה. למשל 1236 הופך ל-6123.

בדרך כלל ההעברה הזו משנה את המספר בצורה כאוטית לגמרי. אבל יש מספרים נדירים שבהם היא עושה דווקא משהו מסודר להפליא.

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר שמסתיים ב-6, וכאשר מעבירים את ה-6 מהסוף לראש - המספר החדש גדול בדיוק פי ארבעה מהמספר המקורי.

שימו לב: המספר החדש אינו רשאי להתחיל באפס, וההעברה היא של הספרה 6 בלבד.

רמז דק

אל תנסו מספרים אחד-אחד. יש אינסוף מועמדים, והניחוש לא יביא אתכם לשום מקום.

במקום זה תנו שם לדברים: אם המספר מסתיים ב-6, אפשר לכתוב אותו כ-N = 10m + 6, כאשר m הוא כל מה שנשאר אחרי שמוחקים את הספרה האחרונה.

עכשיו נסו לכתוב באותה שפה גם את המספר החדש שנוצר אחרי ההעברה. שאלו את עצמכם: כמה ספרות יש ל-m?

רמז עבה

נסמן ב-k את מספר הספרות של m. אז המספר המקורי הוא 10m + 6, והמספר שאחרי ההעברה הוא 6 · 10^k + m.

התנאי שבחידה אומר במדויק: 6 · 10^k + m = 4 · (10m + 6).

פתחו את הסוגריים, בודדו את m, וקבלו נוסחה שתלויה רק ב-k. מרגע זה השאלה היחידה היא עבור אילו ערכי k הנוסחה נותנת מספר שלם.

ורמז אחרון: תצטרכו לבדוק את שאריות החלוקה של חזקות 10 במספר 13.

פתרון

המספר הוא 153846.

מעבירים את ה-6 לראש ומקבלים 615384, ואכן 615384 = 4 × 153846.

הדרך לפתרון

נכתוב N = 10m + 6, כאשר ל-m יש k ספרות. אחרי ההעברה מתקבל המספר 6 · 10^k + m, והתנאי הוא: 6 · 10^k + m = 40m + 24.

כלומר 39m = 6 · 10^k - 24, ואחרי חלוקה בשלוש מתקבל 13m = 2 · 10^k - 8.

מכאן ש-m יוצא שלם אם ורק אם 2 · 10^k - 8 מתחלק ב-13, כלומר אם 10^k משאיר שארית 4 בחלוקה ב-13.

שאריות החלוקה של חזקות 10 ב-13 חוזרות במחזור באורך שש: 10, 9, 12, 3, 4, 1 - ואז שוב מהתחלה. השארית 4 מופיעה לראשונה עבור k = 5.

נציב: 13m = 200000 - 8 = 199992, ולכן m = 15384. ואכן ל-15384 יש בדיוק חמש ספרות, כפי שדרשנו.

המספר המבוקש הוא אפוא N = 10 · 15384 + 6 = 153846.

הקשר הנסתר

המנה 1 חלקי 13 שווה ל-0.076923076923..., ומחזור שש הספרות הזה הוא המקור לכל המספרים המחזוריים מהסוג הזה.

אם מוותרים על הדרישה למספר הקטן ביותר מתקבלים פתרונות נוספים - למשל 153846153846, שגם עבורו ההעברה מכפילה פי ארבעה בדיוק.