המילה החשובה בשאלה היא "משותפים". כשכל אסיר בוחר באקראי, מאה מטבעות מוטלות בנפרד וכולן חייבות ליפול על אותו צד. אסטרטגיה טובה לא תשפר את הסיכוי של אף אסיר בודד - הוא יישאר חצי בדיוק. מה שהיא כן יכולה לעשות הוא לגרום למאה ההצלחות להיות תלויות זו בזו, כך שהן ייפלו כמעט תמיד יחד. איך כופים תלות כזאת בלי לתקשר?

מספרו את האסירים מ-1 עד 100 מראש. עכשיו שימו לב: הפתקים בתיבות מגדירים התאמה - כל מספר תיבה מצביע על מספר אסיר. התאמה כזאת אפשר לעקוב אחריה כמו אחרי שביל.

אסיר מספר k פותח קודם כול את תיבה מספר k. בתוכה יש שם של אסיר כלשהו, נניח מספר j. עכשיו הוא פותח את תיבה מספר j, ובה שם נוסף, וכן הלאה. שאלו את עצמכם: לאן השביל הזה מוביל, ומתי הוא נגמר?

האסטרטגיה: לעקוב אחרי המעגל.

מראש מספרים את האסירים מ-1 עד 100. אסיר מספר k פותח את תיבה מספר k. אם מצא את שמו - סיים. אם מצא את שמו של אסיר מספר j - הוא פותח את תיבה מספר j. וכך הלאה, עד חמישים פתיחות.

למה השביל חייב לחזור דווקא אליו?

הפתקים בתיבות מגדירים תמורה - התאמה חד-חד-ערכית בין מספרי התיבות למספרי האסירים. כל תמורה מתפרקת למעגלים סגורים. אסיר k שמתחיל בתיבה k הולך בדיוק לאורך המעגל שהוא נמצא בו, והתיבה שמכילה את שמו היא התיבה האחרונה במעגל, זו שסוגרת אותו וחוזרת אל k.

לכן אסיר k מוצא את שמו בדיוק אחרי מספר צעדים השווה לאורך המעגל שלו - לא פחות ולא יותר.

מכאן נובע דבר יפה: כל מאת האסירים מצליחים אם ורק אם בתמורה שהוגרלה אין אף מעגל שאורכו גדול מחמישים. זהו אירוע אחד ויחיד שקובע את גורל כולם, במקום מאה אירועים נפרדים.

ומה הסיכוי?

מעגל ארוך מחמישים יכול להיות רק אחד - אין מקום לשניים. לכן אפשר פשוט לחבר את ההסתברויות. מסתבר שההסתברות שקיים מעגל שאורכו בדיוק L, עבור L גדול מ-50, שווה בדיוק ל-1 חלקי L.

לכן ההסתברות להיכשל היא הסכום 1/51 ועוד 1/52 ועוד 1/53 וכן הלאה עד 1/100. סכום זה שווה בערך ל-0.6882, קרוב מאוד ללוגריתם הטבעי של 2.

ההסתברות להצליח היא אפוא כ-0.3118 - קצת יותר מ-31 אחוזים.

ואם זה לא מפתיע מספיק: המספר הזה כמעט אינו תלוי בגודל הקבוצה. גם עם מיליון אסירים ומיליון תיבות, כשכל אחד רשאי לפתוח מחצית מהן, הסיכוי המשותף נשאר סביב 1 פחות הלוגריתם הטבעי של 2 - כלומר כ-30.7 אחוזים.