אל תנסו לסדר אבנים על הלוח. אחרי חמישה ניסיונות תתחילו להרגיש שמשהו לא מסתדר, אבל תחושה איננה הוכחה. במקום זה, הסתכלו על הלוח ושאלו: מה בדיוק מכסה כל אבן דומינו בודדת?

שימו לב לצבעים. לוח שחמט צבוע לסירוגין, ולכן כל אבן דומינו, בכל מקום ובכל כיוון, מכסה תמיד משבצת בהירה אחת ומשבצת כהה אחת - אין לה שום אפשרות אחרת.

ועכשיו הסתכלו שוב על שתי הפינות שגזרתם. באיזה צבע הן?

התשובה: זה בלתי אפשרי. שום סידור של 31 אבני דומינו לא יכסה את הלוח החתוך.

ההוכחה קצרה ויפה, והיא נשענת כולה על הצבעים:

שלב א: בלוח שחמט מלא יש 32 משבצות בהירות ו-32 כהות.

שלב ב: שתי פינות שנמצאות זו מול זו באלכסון הן תמיד מאותו צבע. זה לא מקרה: משבצת בשורה i ובעמודה j היא בהירה אם i+j זוגי, וכהה אחרת. בשתי הפינות הנגדיות i+j משנה את הזוגיות פעמיים - ולכן חוזר לעצמו.

נניח ששתיהן כהות. אחרי הגזירה נשארו על הלוח 32 משבצות בהירות ורק 30 כהות.

שלב ג: כל אבן דומינו מכסה משבצת אחת מכל צבע. לכן 31 אבנים יכסו בהכרח 31 משבצות בהירות ו-31 כהות.

שלב ד: אבל אין לנו 31 כהות - יש רק 30. סתירה. לכן הכיסוי אינו קיים.

למה ההוכחה הזו כל כך חשובה?

מספר הסידורים האפשריים של אבני דומינו על לוח כזה הוא עצום, ולעבור עליהם אחד-אחד הוא מפעל חסר סיכוי בלי מחשב. הצביעה עוקפת את כל זה במכה אחת: היא מוצאת אינווריאנט - תכונה שנשמרת בכל מהלך חוקי - ומראה שהיעד פשוט לא מקיים אותה.

זהו אחד הכלים החזקים במתמטיקה הבדידה, והוא מופיע שוב ושוב: בבעיות ריצוף, בפאזלים כמו קוביה הונגרית, ובשאלות על משחקים. השאלה "מה נשמר כאן תמיד?" חזקה בדרך כלל בהרבה מהשאלה "איך אפשר לסדר את זה?".

הרחבה למי שרוצה עוד: אם במקום שתי פינות נגדיות תסירו שתי משבצות מצבעים שונים - כל שתיים, בכל מקום על הלוח - הכיסוי ב-31 אבנים תמיד אפשרי. זו תוצאה יפה שהוכיח ראלף גומורי, והיא נכונה ללא יוצא מן הכלל.