התשובה האינטואיטיבית היא "נשארו שתי דלתות, אז הסיכוי חצי-חצי, וזה לא משנה".

לפני שאתם מקבלים אותה, שימו לב לפרט אחד שקל לפספס: המנחה לא פתח דלת אקראית. הוא יודע איפה המכונית, והוא מחויב לפתוח דווקא דלת עם עז.

כלומר ההתנהגות שלו מותנית במה שנמצא מאחורי הדלת שבחרתם - ומידע מותנה הוא בדיוק מה שמשנה הסתברויות.

אל תסתכלו על שתי הדלתות שנשארו. במקום זה בדקו את שלושת המצבים האפשריים לפני שהמנחה עשה משהו, לפי המיקום האמיתי של המכונית:

המכונית מאחורי הדלת שבחרתם.
המכונית מאחורי אחת משתי הדלתות האחרות.
המכונית מאחורי האחרת מבין השתיים.

שלושת המצבים שווי סיכוי. עברו עליהם אחד אחד, ובכל אחד מהם שאלו שאלה אחת בלבד: אם אחליף עכשיו - אנצח או אפסיד?

ואם עדיין לא משתכנעים, הגדילו את המשחק: דמיינו מאה דלתות. בחרתם אחת, והמנחה - שיודע הכול - פותח תשעים ושמונה דלתות עם עזים ומשאיר סגורה רק אחת. האם באמת תרגישו שהסיכוי חצי-חצי?

התשובה: תמיד כדאי להחליף. ההחלפה מנצחת בשני שלישים מהמקרים, וההישארות רק בשליש.

הבדיקה המלאה

נניח שבחרתם את דלת מספר 1. שלושת המצבים האפשריים שווי סיכוי, שליש כל אחד:

המכונית מאחורי דלת 1. המנחה פותח את 2 או את 3. אם תחליפו - תקבלו עז. הפסד.
המכונית מאחורי דלת 2. המנחה חייב לפתוח את 3 (הוא לא יחשוף את המכונית). אם תחליפו - תעברו לדלת 2 ותזכו. ניצחון.
המכונית מאחורי דלת 3. המנחה חייב לפתוח את 2. אם תחליפו - תעברו לדלת 3 ותזכו. ניצחון.

שני ניצחונות מתוך שלושה מצבים. ההחלפה מנצחת בהסתברות שני שלישים.

הדרך האינטואיטיבית לראות זאת

בבחירה הראשונה הסיכוי שלכם לפגוע במכונית הוא שליש. המשמעות היא שבשני שלישים מהמקרים המכונית נמצאת באחת משתי הדלתות האחרות.

הפעולה של המנחה אינה משנה את השליש הזה - הוא הרי תמיד יכול למצוא עז לפתוח, בלי קשר לבחירה שלכם. מה שהוא כן עושה הוא לרכז את שני השלישים בדלת אחת: הוא מסלק מהזוג את האפשרות הגרועה ומשאיר סגורה בדיוק את הדלת שסופגת את כל המשקל.

לכן ההחלפה שקולה לוויתור על דלת אחת ולקבלת שתיים.

איפה בדיוק נשברת האינטואיציה

הטעות היא ההנחה ששתי דלתות סגורות משמעותן חצי-חצי. סימטריה בכמות אינה סימטריה בהסתברות. הדלת שבחרתם "קפאה" על שליש ברגע הבחירה, ואילו הדלת השנייה נבחרה על ידי מישהו שיודע את התשובה - וזה הופך אותה לשונה לגמרי.

שימו לב שהתנאי הזה קריטי: אילו המנחה היה פותח דלת באקראי ובמקרה נחשפת עז, התשובה באמת הייתה חצי-חצי. כל הכוח של החידה נמצא בכך שהמנחה יודע.

קצת היסטוריה

החידה הוצגה לראשונה במכתב של הסטטיסטיקאי סטיב סלווין בשנת 1975, אך התפרסמה באמת ב-1990, כשמרילין וו סאבנט פרסמה אותה בטור שלה במגזין Parade וענתה שכדאי להחליף.

התגובות היו סוערות: היא קיבלה אלפי מכתבי מחאה, ובהם מאות ממחזיקי תארי דוקטור, שהסבירו לה בביטחון מלא שהיא טועה. היא צדקה.

גם המתמטיקאי הדגול פול ארדש התקשה לקבל את התוצאה, ולפי העדויות השתכנע רק אחרי שהראו לו סימולציה ממוחשבת שהריצה את המשחק שוב ושוב.