זוג ארנבים ממליט כל חודש זוג ארנבים חדש. כל זוג ארנבים חדש מחכה חודש עד לתחילת ההמלטות. אם מכניסים לגן סגור זוג חדש של ארנבים, כמה זוגות של ארנבים יהיו בסוף השנה?

רמז דק

אפשר לרשום בצורה שיטתית את מספר הארנבים בכל חודש ולגלות את החוקיות.

רמז עבה

בדקו החל מהחודש השלישי מה הקשר בין מספר הארנבים בחודש זה ובין מספר הארנבים בחודשים הקודמים

פתרון

בחודש הראשון יש זוג ארנבים חדש אחד. בחודש השני הופך הזוג החדש לותיק ובתחילת החודש השלישי הם ממליטים זוג חדש. באם כך, בחודש השלישי יש בגן שני זוגות ארנבים.

בתחיל החודש הרביעי ממליט הזוג הותיק זוג חדש והזוג החדש שהיה הופך לותיק. אם כך, בסוף החודש הרביעי יש בגן שלושה זוגות של ארנבים. בתחילת החודש החמישי ממליטים כל אחד משני הזוגות הותיקים זוג חדש והזוג החדש שכבר נמצא מהחודש הקודם הופך לותיק.

אפשר לראות את מספרי זוגות הארנבים בחמשת החודשים הראשונים: 5,3,2,1,1

בתחילת החודש השישי ממליטים שלושת הזוגות הותיקים זוג חדש ושני הזוגות החדשים שהיו הופכים לותיקים ויש סה"כ 8 זוגות. אפשר לראות שהחל מהחודש השלישי, מספר זוגות הארנבים שווה לסכום זוגות הארנבים של שני החודשים שקדמו לחודש זה (אפשר להבין גם מדוע , לפנ תנאי ההמלטה). נקבל את הסדרה הבאה: 144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1, ואם נחבר נגיע ל 376 זוגות ארנבים בסוף השנה.

הידעת?

הידעת?

המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו מפיזא הידוע יותר בכינויו פיבונאצ'י (הבן של בונאצ'י, באיטלקית)

חי בין השנים 1170-1240 וידוע בעיקר בתרומתו להפצת שיטת הספירה העשרונית בה אנו משתמשים היום. כ 300 שנה אחרי פרסום החידה ופתרונה גילה המתמטיקאי , הפיסיקאי והאסטרונום קפלר, מה שאולי היה גם ידוע לפיבונאצ'י- את החוקיות שבסדרה: כל מספר שווה לסכום שני המספרים שלפניו. באמצע המאה ה 17 גילה מתמטיקאי סקוטי רובט סימון, שאם מחלקים מספר בסדרת פיבונאצ'י במספר השכן לו, לפניו, החל מהמספר החמישי, מקבלים מספר המתנדנד בין...1.666 לבין 1.625 ,המגיע לקראת מספרים גדולים בסדרה או כפי שמקובל לומר במתמטיקה-לקראת אינסוף, למספר …1.61803398. מספר זה נקרא "יחס הזהב" או "חתך הזהב".

אפשר למצוא את היחס בארכיטקטורה כמו בפרתנון שביוון או ביצירות אמנות כמו בציוריו של דה וינצ'י. יחסזהבין אורך לרוח נעים לעין ויש אומרים שהוא מצוי גם בפניהן של מלכות יופי…

מעבר ל"יחס הזהב" אפששר למצוא את מספרי סדרת פיבונאצ'י בטבע כמו למשל בפרח החמניה:

הזרעים על פרח החמניה מסודרים בקבוצות לוליניות של 34, 55, 89- מספרי פיבונאצ'. בתפרחת הפרח החיננית מוצאים פרחונים בקבוצות לוליניות של 21 ,34 - מספרי פיבונאצ'י וכך גם בצמחים נוספים.

את שמה: סידרת פיבונאצ'י, קבלה הסדרה רק במאה ה 19 ע"י המתמטיקאי הצרפתי אדוארד

לוקאס, לכבוד ממציאה. לוקאס עצמו תרם סדרה בעלת חוקיות דומה הנקראת על שמו:

11,7,4,3,1  וכך הלאה והיא מתקשרת מתמטית לסדרת פיבונאצ'.

כל אחד מכם יכול לקחת שמי מספרים וליצור סדרה על שמו-רק לבדוק שלא נרשמה על ידי דמות אחרת….