שימו לב מה בדיוק נשאלתם.

השאלה אינה מה הסיכוי שמישהו נולד באותו יום שבו אתם נולדתם. השאלה היא מה הסיכוי שקיימת זוג כלשהו בחדר שחולק אותו תאריך.

כמה זוגות יש בכלל בקבוצה של 23 אנשים?

מספר הזוגות הוא 23 × 22 חלקי 2 = 253. לא 23 - אלא 253 הזדמנויות נפרדות להתנגשות.

וטריק חישובי אחד: אל תנסו לסכום את המקרים שבהם יש התאמה. חשבו את ההפוך - את הסיכוי שלכולם יהיו תאריכים שונים - והחסירו מאחד.

החישוב

נסדר את האנשים בטור ונשאל מה הסיכוי שאף אחד לא יתנגש עם קודמיו (בהנחה של 365 ימים שווי סיכוי).

לראשון אין מגבלה: 365 חלקי 365.

לשני אסור לנחות על התאריך של הראשון: 364 חלקי 365.

לשלישי: 363 חלקי 365. וכך הלאה עד ה-23, שעבורו נשארו 343 ימים פנויים.

מכפילים את כל 23 השברים ומקבלים סיכוי של כ-0.4927 שכולם שונים.

ולכן הסיכוי שיש התאמה הוא 1 פחות 0.4927, כלומר כ-50.7 אחוז. ב-23 אנשים כבר כדאי להמר על כן.

ואיך זה ממשיך

30 אנשים - כ-70.6 אחוז. 50 אנשים - כ-97 אחוז. 70 אנשים - כ-99.9 אחוז.

במילים אחרות, בכמעט כל כיתת בית ספר ובכל קבוצת עבודה סבירה יש זוג שחולק יום הולדת - ואנחנו פשוט לא בודקים.

השאלה שבאמת שואלים בראש

השווו לשאלה האחרת: כמה אנשים צריך כדי שבסיכוי של חצי מישהו ייוולד באותו תאריך כמוכם?

שם התשובה היא 253 אנשים - קרוב למה שהאינטואיציה ניבאה. המוח שלנו עונה על השאלה הזאת במקום על זו שנשאלה, ובדיוק שם נולדת הטעות.

הסיבה מספרית פשוטה: מספר הזוגות גדל כמעט כמו ריבוע מספר האנשים, ולא בקצב ישר. הוספת אדם אחד לקבוצה של 22 מוסיפה 22 זוגות חדשים בבת אחת.

הערה קטנה

במציאות ימי ההולדת אינם מתפלגים באופן אחיד לגמרי - יש חודשים עמוסים מאחרים. אבל זה רק מגדיל את הסיכוי להתאמה, כך שהתוצאה בשטח אפילו חזקה מהחישוב התיאורטי.