בחרו מספר תלת-ספרתי שבו הספרה הראשונה גדולה מהספרה האחרונה לפחות בשתיים — למשל 742.

הפכו את סדר הספרות (247) וחסרו את הקטן מהגדול: 742 − 247 = 495.

עכשיו הפכו גם את התוצאה שקיבלתם (594), וחברו את השתיים: 495 + 594 = 1089.

נסו שוב עם כל מספר אחר שתרצו — ותקבלו שוב 1089. מדוע זה קורה תמיד?

רמז דק

סמנו את ספרות המספר a, b, c. כתבו את המספר ואת היפוכו בעזרת חזקות של 10, ובדקו מה קורה לספרה האמצעית כשמחסרים.

רמז עבה

החיסור נותן תמיד 99 כפול (a−c). מכיוון ש-a−c נע בין 2 ל-9, יש רק שמונה תוצאות אפשריות: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. שימו לב מה משותף לספרה האמצעית של כולן, ומה סכום ספרת המאות וספרת האחדות בכל אחת מהן.

פתרון

המספר הוא 100a+10b+c, והיפוכו הוא 100c+10b+a. ההפרש ביניהם הוא 99(a−c) — הספרה האמצעית נעלמת לחלוטין מהחישוב.

כל כפולה כזו של 99 היא מספר תלת-ספרתי בעל מבנה קבוע: הספרה האמצעית היא תמיד 9, וסכום ספרת המאות וספרת האחדות הוא גם הוא 9. לכן, כשמחברים תוצאה כזו להיפוכה, מקבלים 9+9=18 באחדות, 9+9=18 בעשרות, והצירוף נותן תמיד 1089.

זו גם הסיבה לתנאי שהספרה הראשונה תהיה גדולה מהאחרונה לפחות בשתיים: אם ההפרש הוא 1, החיסור נותן 099, והתעלול נשבר.