צילום: D Coetzee, Wikimedia Commons (CC0)

בשיעור האחרון לפני החופשה כתב המורה על הלוח מספר אחד בלבד: 100!

"זהו מאה עצרת", הסביר, "מכפלה של כל המספרים השלמים מ-1 ועד 100. מספר ענק בן 158 ספרות. אין לכם מחשבון שיציג אותו במלואו, ואין לכם זמן לכפול מאה מספרים ביד".

הוא מחק את הלוח וכתב שאלה אחת: "בכמה אפסים מסתיים המספר הזה?"

תלמיד הרים יד: "אבל צריך קודם לחשב אותו, לא?"

"לא", חייך המורה. "את התשובה אפשר למצוא בפחות מדקה, ובלי לכתוב ולו ספרה אחת של המספר עצמו".

השאלה: בכמה אפסים בדיוק מסתיים המספר 100! ?

רמז דק

אפס בסוף מספר נוצר בכל פעם שמכפילים בעשר. ועשר, כידוע, הוא מכפלה של שתיים בחמש.

רמז עבה

בפירוק של 100! לגורמים ראשוניים יש הרבה יותר גורמי 2 מגורמי 5, ולכן כל גורם 5 ימצא לעצמו בן זוג. די אפוא לספור כמה פעמים מופיע הגורם 5. שימו לב שמספרים כמו 25, 50, 75 ו-100 תורמים שני גורמי 5 כל אחד.

פתרון

כל אפס בסוף המספר מגיע מזוג של גורם 2 וגורם 5. גורמי ה-2 מרובים בהרבה, ולכן מספר האפסים נקבע כולו על ידי מספר גורמי ה-5.

נספור אותם בשלבים:

כפולות של 5 בטווח 1 עד 100: 100 חלקי 5 שווה 20 מספרים, וכל אחד מהם תורם לפחות גורם 5 אחד.

כפולות של 25: 100 חלקי 25 שווה 4 מספרים - 25, 50, 75 ו-100 - וכל אחד מהם תורם גורם 5 נוסף.

כפולות של 125: אין כאלה עד 100, ולכן כאן הספירה נעצרת.

סך הכול 20 ועוד 4, כלומר 24 אפסים.

הכלל הזה קרוי על שם לז'נדר: מספר האפסים בסוף n! שווה לסכום המנות השלמות של n בחלוקה ל-5, ל-25, ל-125 וכן הלאה, עד שהמנה מתאפסת.

רוצים לבדוק את עצמכם? בסוף 1000! יש 200 ועוד 40 ועוד 8 ועוד 1, כלומר 249 אפסים.