אל תנסו לחשב דוגמאות נוספות. נסו לרשום את עשרת האיברים בלי מספרים בכלל.

קראו לשני המספרים הראשונים a ו-b. האיבר השלישי הוא a+b, הרביעי הוא a+2b, החמישי 2a+3b, וכן הלאה. כתבו את כל עשרת האיברים בצורה הזאת, ואז סכמו בנפרד את כל המקדמים של a ובנפרד את כל המקדמים של b. שימו לב איזו סדרה מוכרת מופיעה בעמודות עצמן.

עשרת האיברים, בלי מספרים:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b, 21a+34b

המקדמים של a הם 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 - וסכומם 55.

המקדמים של b הם 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 - וסכומם 88.

כלומר הסכום הכולל הוא תמיד 55a + 88b.

וכאן הכול נסגר: 55 = 11 כפול 5, ו-88 = 11 כפול 8. לכן

55a + 88b = 11 × (5a + 8b)

הסכום מתחלק ב-11 - תמיד, ובלי תלות ב-a וב-b.

ולמה דווקא האיבר השביעי? כי האיבר השביעי בשורה הוא בדיוק 5a + 8b. אותו ביטוי, מילה במילה. לכן הסכום של עשרת האיברים שווה תמיד לאיבר השביעי כפול 11.

מה שבאמת קורה כאן

הטענה נראית כמו תכונה של סדרת פיבונאצ'י, אבל היא לא. מעולם לא השתמשנו בעובדה שהתחלנו ב-1 ו-1. כל סדרה שבה כל איבר הוא סכום שני קודמיו - ומתמטיקאים קוראים לזה סדרת פיבונאצ'י מוכללת - תציית לאותו כלל בדיוק. המספרים 55 ו-88 אינם תלויים בהתחלה אלא רק בכלל הבנייה ובאורך השורה.

ואגב, גם 55 וגם 88 אינם מקריים: 55 הוא בעצמו איבר בסדרת פיבונאצ'י, ו-88 הוא ההפרש שבין 89 - האיבר הבא - לבין 1.

איך להשתמש בזה

בקשו ממישהו לבחור שני מספרים ולבנות שורה של עשרה, בלי שתראו אותם. בקשו רק לקרוא לכם בקול את האיבר השביעי. כפלו אותו ב-11 - טריק קל בראש: 71 כפול 11 הוא 71 ועוד 710, כלומר 781 - והכריזו על הסכום. עד שהוא יסיים לחבר במחשבון, אתם כבר תדעו את התשובה.