צילום: Hayden Soloviev, Wikimedia Commons (CC BY 4.0)
בעל מטע קיבל מאדריכל הגנים הוראה שנשמעת בלתי אפשרית.
עומדים לרשותו עשרה עצים בלבד, והוא נדרש לשתול אותם כך שייווצרו חמישה טורים ישרים, ובכל טור ארבעה עצים בדיוק.
הפיתוי הראשון הוא לחשב: חמישה טורים כפול ארבעה עצים שווה עשרים. אבל יש רק עשרה עצים. מכאן מסיקים רבים שהמשימה בלתי אפשרית - וזו בדיוק הטעות.
הסוד הוא שעץ אחד יכול להשתייך ליותר מטור אחד. עץ שעומד בנקודת המפגש של שני קווים ישרים נספר בשניהם. אם כל עץ ישרת שני טורים, עשרה עצים מספיקים בדיוק לעשרים המקומות הדרושים.
קחו דף ועיפרון וסמנו עשר נקודות. המשימה: למתוח דרכן חמישה קווים ישרים, כך שעל כל קו יעברו בדיוק ארבע נקודות.
השאלה: איך נראית הסידור הזה?
ספרו קודם, ורק אחר כך ציירו.
חמישה טורים, ארבעה עצים בכל אחד - עשרים מקומות. עשרה עצים ממלאים עשרים מקומות רק אם כל עץ ועץ עומד על שני קווים בדיוק. לא אחד, ולא שלושה.
עכשיו חפשו צורה גיאומטרית מוכרת שבה חמישה קווים ישרים נחתכים זה בזה בצורה סימטרית לגמרי. ציור אחד כזה מוכר לכל ילד.
הצורה שאתם מחפשים היא כוכב בן חמש קרניים - כזה שמציירים בקו אחד רצוף בלי להרים את העיפרון.
הכוכב הזה עשוי מחמישה קווים ישרים בדיוק, וכל שני קווים נחתכים.
עכשיו ספרו את הנקודות שנוצרות בציור: יש חמש קצוות חדות בחוץ, ויש עוד כמה נקודות חיתוך פנימיות שיוצרות מחומש קטן במרכז. כמה נקודות יש בסך הכול? וכמה מהן יושבות על כל קו?
שותלים את העצים בצורת כוכב בן חמש קרניים - פנטגרם.
הכוכב הזה בנוי מחמישה קווים ישרים בלבד. הוא יוצר שני סוגים של נקודות:
חמש נקודות חיצוניות - קצות הקרניים של הכוכב.
חמש נקודות פנימיות - נקודות החיתוך שיוצרות את המחומש הקטן במרכז הכוכב.
סך הכול: עשר נקודות - בדיוק כמספר העצים שברשותנו.
ועכשיו הבדיקה החשובה: כל אחד מחמשת הקווים של הכוכב עובר דרך ארבע נקודות בדיוק - שתי קצוות קרניים בשני קצותיו, ושתי נקודות חיתוך פנימיות באמצע.
חמישה קווים, ארבע נקודות על כל קו. המשימה הושלמה.
למה החישוב מסתדר
נספור מזווית אחרת. כל אחת מעשר הנקודות יושבת על שני קווים בדיוק - קצה קרן הוא מפגש של שני קווים, וכל נקודה פנימית היא גם מפגש של שני קווים.
עשר נקודות כפול שני קווים לכל אחת שווה עשרים מפגשים. חמישה קווים כפול ארבע נקודות על כל קו שווה גם כן עשרים. שתי הספירות מתלכדות בדיוק - וזה מה שהופך את הסידור לאפשרי.
איך מציירים את זה בשטח
הדרך הפשוטה היא לסמן חמש נקודות על מעגל, במרווחים שווים, כמו קודקודי מחומש משוכלל. עכשיו מחברים כל נקודה לא לשכנתה, אלא לזו שאחרי השכנה - כלומר מדלגים על אחת בכל פעם.
הקו ממשיך מנקודה לנקודה עד שהוא חוזר לנקודת המוצא, ומצייר כוכב שלם בלי להרים את העיפרון. חמשת האלכסונים האלה הם חמשת הטורים, ונקודות החיתוך שלהם הן חמשת העצים הנוספים.
המשפחה שאליה שייכת החידה
חידות מסוג זה נקראות בעיות נטיעת עצים, והן ענף שלם בגיאומטריה קומבינטורית. הניסוח הכללי שואל: בהינתן n נקודות, כמה קווים ישרים המכילים בדיוק k נקודות אפשר ליצור?
הבעיה זכתה לפרסום רחב אצל שני מחברי חידות בריטיים - סם לויד והנרי דודני - שהציגו עשרות גרסאות שלה בתחילת המאה העשרים.
הגרסאות הקשות באמת פתוחות עד היום: כבר עם תשע עשרה נקודות ושלוש נקודות בכל קו, איש אינו יודע בוודאות מהו המספר המרבי של קווים אפשריים. יש חסמים, יש שיאים ידועים - אבל אין הוכחה מלאה.
החידה שפתרנו כאן היא המקרה הפשוט והיפה במשפחה הזאת: זה שבו הפתרון הוא בדיוק הצורה שכולנו יודעים לצייר מגיל חמש.
תגובות
- לא נמצאו תגובות
Post comment as a guest