הפסיקו לצייר והתחילו לספור.

יש שש נקודות (שלושה בתים ושלושה מתקנים) ותשעה קווים.

לציורים שניתן לשרטט במישור בלי חיתוכים יש נוסחה מפורסמת של אוילר, המקשרת בין מספר הנקודות, מספר הקווים ומספר האזורים שהציור מחלק את הדף אליהם.

נוסחת אוילר אומרת: נקודות פחות קווים ועוד אזורים שווה לשתיים.

ויש עובדה שנייה שצריך לשים לב אליה: בציור הזה אין משולשים. קו תמיד מחבר בית למתקן, ולכן כל מסלול סגור חייב להתחלף בית-מתקן-בית-מתקן, ולהכיל לפחות ארבעה קווים.

עכשיו ספרו כמה קווים דרושים כדי לגדור את כל האזורים.

זה בלתי אפשרי, וההוכחה מתנהלת בשלושה צעדים.

צעד ראשון. נניח לרגע שהציור אפשרי. לפי נוסחת אוילר, עבור כל שרטוט קשיר במישור מתקיים:

נקודות - קווים + אזורים = 2

אצלנו יש 6 נקודות ו-9 קווים, ולכן 6 - 9 + אזורים = 2, כלומר הציור חייב לחלק את הדף ל-5 אזורים (כולל האזור החיצוני האין-סופי).

צעד שני. כל קו בציור מחבר בית למתקן - לעולם לא בית לבית או מתקן למתקן. לכן כל מסלול סגור חייב לעבור לסירוגין בין השניים, ולכן אורכו זוגי והוא לפחות 4. מסקנה: כל אזור בציור גבול בלפחות ארבעה קווים.

צעד שלישי. נספור עכשיו זוגות של קו ואזור שהוא גובל בו. מצד אחד, כל קו משמש גבול לכל היותר שני אזורים, ולכן מספר הזוגות אינו עולה על 2 × 9 = 18. מצד שני, כל אחד מחמשת האזורים דורש לפחות ארבעה קווים, ולכן מספר הזוגות הוא לפחות 4 × 5 = 20.

קיבלנו ש-20 קטן או שווה ל-18. זו סתירה, ולכן ההנחה שממנה יצאנו שגויה: אי אפשר לצייר את תשעת הקווים במישור בלי חיתוך.

הקשר הגדול יותר

הציור הזה נקרא בשפת תורת הגרפים K₃,₃, והוא אחד משני הגרפים הבסיסיים במשפט קורטובסקי המפורסם מ-1930. המשפט קובע שציור ניתן לשרטוט במישור בלי חיתוכים אם ורק אם אינו מכיל בתוכו את K₃,₃ או את K₅ (חמש נקודות שכולן מחוברות זו לזו).

ואם משנים את הדף?

כאן מגיע החלק היפה. האי-אפשרות היא תכונה של המישור בלבד. על פני טורוס - משטח בצורת דונאט או ספל עם אוזן - החיבור הזה אפשרי לחלוטין, מפני שנוסחת אוילר שם מסתיימת ב-0 במקום ב-2, והסתירה נעלמת. מי שרוצה לנסות - ציירו על ספל קפה.