בשנת 1939 הציג המתמטיקאי ריכרד פון מיזס שאלה קטנה שהפכה לאחת ההפתעות המפורסמות בתורת ההסתברות. ויליאם פלר הכניס אותה לספר הלימוד הקלאסי שלו, ומאז היא לא יורדת מהפרק.

קבוצת אנשים נכנסת לחדר. אנחנו רוצים לדעת מה הסיכוי ששניים מהם - לא אכפת לנו מי - חוגגים יום הולדת באותו תאריך בשנה.

כמה אנשים צריכים להיות בחדר כדי שהסיכוי לכך יעלה על 50 אחוז?

ואחרי שתנחשו - נסו גם את השאלה השנייה: כמה אנשים דרושים כדי שהסיכוי יגיע ל-99 אחוז?

לשם פשטות נניח 365 ימים בשנה, בלי 29 בפברואר, ושכל התאריכים שווי סיכוי.

רמז דק

רוב האנשים מנחשים מספר סביב 180, בערך חצי מ-365. הניחוש הזה רחוק מאוד מהאמת - ולא בכיוון שנדמה לכם.

הטעות נובעת מכך שסופרים אנשים, בעוד שמה שקובע הוא משהו אחר לגמרי.

רמז עבה

אל תחשבו ישירות את הסיכוי שיש התאמה. חשבו את המאורע המשלים - שלכל האנשים ימי הולדת שונים זה מזה - ואז החסירו מ-1.

ושימו לב למה שבאמת נספר כאן: לא אנשים, אלא זוגות. במסיבה של n אנשים יש n(n-1)/2 זוגות, וכל זוג הוא הזדמנות נוספת להתאמה. עשרים ושלושה אנשים כבר יוצרים 253 זוגות.

פתרון

התשובה: 23 אנשים.

הסיכוי שכל n האנשים נולדו בתאריכים שונים הוא:

365/365 · 364/365 · 363/365 · ... · (365 - n + 1)/365

לכל אדם שנכנס לחדר נשארים פחות תאריכים פנויים, ולכן כל גורם קטן מקודמו. הסיכוי שיש התאמה הוא פשוט 1 פחות המכפלה הזאת.

עבור 22 אנשים מתקבל סיכוי של 47.6 אחוזים - עדיין מתחת לחצי.

עבור 23 אנשים מתקבל 50.7 אחוזים - וזה הרגע שבו ההימור הופך למשתלם.

והשאלה השנייה: 57 אנשים.

ב-57 אנשים הסיכוי כבר 99.0 אחוזים, וב-70 אנשים הוא 99.9 אחוזים. הנה עוד כמה ערכים בדרך: 10 אנשים - 11.7 אחוזים, 30 אנשים - 70.6 אחוזים, 50 אנשים - 97.0 אחוזים.

למה זה מרגיש לא הגיוני

האינטואיציה שלנו סופרת אנשים, אבל ההסתברות סופרת זוגות. עם 23 אנשים יש 253 זוגות שונים, ולכל אחד מהם סיכוי קטן להתאמה - וסכום ההזדמנויות הזה מצטבר מהר מאוד.

יש עוד סיבה: כל אחד מאיתנו חושב באופן לא מודע על עצמו. אבל השאלה "מישהו כאן חולק יום הולדת עם מישהו אחר" שונה לגמרי מהשאלה "מישהו כאן חולק יום הולדת איתי".

ההשוואה שמסדרת את הראש

כדי שיהיה סיכוי של 50 אחוז שמישהו בחדר נולד בדיוק בתאריך שלכם, דרושים 253 אנשים - כמעט פי אחד עשר.

ההבדל בין 23 ל-253 הוא בדיוק ההבדל בין "זוג כלשהו" לבין "זוג שאני חלק ממנו". וזאת גם הסיבה שהפרדוקס הזה הוא לא באמת פרדוקס: התשובה נכונה לגמרי, רק האינטואיציה שלנו ענתה על שאלה אחרת.