משחק ב' אינו תלוי רק במזל. הוא תלוי בסכום שיש לכם ברגע זה - ואת הסכום הזה אתם משנים בעצמכם, בכל סיבוב.

אל תשאלו כמה טוב כל מטבע. שאלו כמה זמן משחק ב' מבלה בכל אחד משני המצבים.

שחקו אותו לבד בראש: אתם על מספר שמתחלק ב-3, מפסידים כמעט תמיד, ויורדים למספר שנותן שארית 2. משם יש סיכוי טוב לנצח - ואיפה נוחתים? בדקו לאן בדיוק מובילים הניצחונות במצב הטוב, וגלו שהם מחזירים אתכם אל המצב הרע הרבה יותר מדי פעמים. ואז שאלו מה קורה אם מישהו זורק לתוך הרצף מהלכים אקראיים לגמרי.

הסוד אינו במטבעות. הוא בזמן שהשחקן מבלה בכל אחד מהמצבים.

למה משחק ב' לבדו מפסיד

לו השחקן היה מבלה שליש מהזמן במצב הרע ושני שלישים במצב הטוב, משחק ב' היה מכרה זהב: סיכוי הזכייה הממוצע היה עולה בהרבה על חצי.

אבל החלוקה הזאת אינה נכונה, כי המצבים אינם מוגרלים - הם נגררים זה מזה. חישוב ההתפלגות ארוכת הטווח של המשחק מראה שהשחקן מבלה כ-38 אחוז מהזמן דווקא במצב הרע, ולא 33 אחוז. הסיבה: מהמצב הטוב, הניצחונות מובילים בחזרה אל המצב הרע בתדירות גבוהה מהצפוי.

ההפרש הקטן הזה - חמישה אחוזים נוספים של שהות במטבע האיום - מספיק כדי להפוך את כל המשחק למפסיד. עם המספרים המדויקים, סיכוי הזכייה הממוצע יוצא בדיוק חצי כשהמטבעות מושלמים, ולכן ה"פגם" הקטן שהוספנו לכל מטבע דוחף אותו אל מתחת לקו.

מה עושה משחק א'

משחק א' הוא משחק גרוע, אבל הוא עיוור לחלוטין לשארית החלוקה ב-3. הוא לא יודע באיזה מצב אתם נמצאים ולא אכפת לו. הוא פשוט מוסיף או גורע שקל באקראי כמעט מוחלט.

וזה בדיוק מה שהוא עושה לרצף: הוא מערבב את השאריות. אחרי כמה סיבובים של משחק א', השאלה "איפה אני ביחס ל-3" מאבדת את הזיכרון שלה והופכת קרובה להגרלה הוגנת בין שלושת המצבים.

והנה הרווח

כשהשחקן חוזר למשחק ב' אחרי הערבוב, הוא כבר לא נמצא במצב הרע 38 אחוז מהזמן אלא קרוב ל-33 אחוז - החלוקה הנאיבית שדמיינו מלכתחילה. ובחלוקה הזאת משחק ב' באמת רווחי.

במילים אחרות: משחק א' משלם מחיר קטן וקבוע - הוא מפסיד מעט - וקונה בתמורה שיפור גדול בהרבה בתנאי הפעולה של משחק ב'. המאזן חיובי, וההון מטפס.

הדימוי שפרונדו עצמו השתמש בו

פרונדו הגיע לרעיון מתוך פיזיקה, ממנגנון שנקרא מחגר בראוני. דמיינו מדרון שממנו גרגר מחליק כלפי מטה, ומדרון שני שגם ממנו הוא מחליק מטה. כל אחד לחוד - ירידה. אבל אם מחליפים ביניהם בקצב הנכון, הגרגר נתפס שוב ושוב בנקודה גבוהה יותר, ובסך הכול מטפס.

הרעש - אותה אקראיות של משחק א' - אינו האויב כאן. הוא הכלי. הוא זה שמונע מהמערכת להתייצב במצב הגרוע שלה.

איפה זה נוגע לחיים

העיקרון זכה לשם פרדוקס פרונדו, ומאז הוא זוהה במקומות רחוקים זה מזה: בדינמיקה של אוכלוסיות שבהן שני תנאי סביבה גרועים מתחלפים ומאפשרים הישרדות, במודלים של ניהול תיקי השקעות, ובאלגוריתמים שמוסיפים בכוונה רעש אקראי כדי לא להיתקע במינימום מקומי.

הלקח העמוק פשוט מהמתמטיקה: כשמערכת זוכרת את מצבה הקודם, לא מספיק לשאול כמה טוב כל צעד. צריך לשאול לאן הצעדים גוררים אותה - ולפעמים צעד גרוע במתכוון הוא זה שמשחרר את המערכת מהלולאה.