צילום: Tool Dude8mm, Wikimedia Commons (CC BY 2.0)

בשנת 1924 פרסם מחבר החידות הבריטי הנרי ארנסט דודני תרגיל חיבור קטן שהפך מאז לחידה המפורסמת ביותר מסוגה בעולם. הסיפור שמאחוריו הוא מברק קצר של בן ששלח לאביו:

SEND + MORE = MONEY

"שלח עוד כסף". שלוש מילים באנגלית, ובתוכן תרגיל חיבור שלם.

הכללים פשוטים ונוקשים:

כל אות מייצגת ספרה אחת בין 0 ל-9.

אותיות שונות מייצגות ספרות שונות - אין שתי אותיות שמקבלות את אותה ספרה.

אותה אות מקבלת תמיד את אותה ספרה, בכל מקום שבו היא מופיעה.

מספר אינו יכול להתחיל בספרה אפס - כלומר S אינה 0, ו-M אינה 0.

כלומר: SEND הוא מספר בן ארבע ספרות, MORE הוא מספר בן ארבע ספרות, וסכומם MONEY הוא מספר בן חמש ספרות.

השאלה: איזו ספרה מסתתרת מאחורי כל אות?

ועוד שאלה, מעניינת לא פחות: כמה פתרונות שונים יש לחידה הזאת?

רמז דק

אל תתחילו מהאותיות שמופיעות הרבה. התחילו מהאות שיש עליה הכי הרבה מידע.

שימו לב לגודל של המספרים: מחברים שני מספרים בני ארבע ספרות ומקבלים מספר בן חמש ספרות. מה זה אומר על הספרה הראשונה של התוצאה - כלומר על M?

גם המספר הגדול ביותר בן ארבע ספרות ועוד המספר הגדול ביותר בן ארבע ספרות אינם מגיעים רחוק במיוחד. חשבו כמה גדולה יכולה להיות הספרה שנוספת בראש.

רמז עבה

שני צעדים סוגרים כמעט את כל החידה:

צעד ראשון: M שווה 1. הסכום המרבי של שני מספרים בני ארבע ספרות הוא 9999 ועוד 9999, כלומר 19998. הספרה החמישית לעולם אינה יכולה לעבור את 1, ומכיוון שאסור לה להיות 0 - היא 1 בהכרח.

צעד שני: S שווה 9, ו-O שווה 0. בטור השמאלי מחברים את S ואת M ומקבלים את O עם נשיאה. כלומר S ועוד 1 ועוד נשיאה אפשרית שווה עשר ועוד O. כדי שזה יעבוד, S חייבת להיות גדולה מאוד, ו-O קטנה מאוד.

מכאן המשיכו טור אחר טור מימין לשמאל, ורשמו בכל שלב אילו ספרות כבר נתפסו. המפתח הבא נמצא בטור של E ו-O.

פתרון

הפתרון: 9567 ועוד 1085 שווה 10652

ובפירוט לפי אותיות:

S = 9, E = 5, N = 6, D = 7, M = 1, O = 0, R = 8, Y = 2

נבדוק: SEND הוא 9567. MORE הוא 1085. MONEY הוא 10652. ואכן 9567 ועוד 1085 שווה 10652.

איך מגיעים לשם - שלב אחר שלב

שלב 1 - M שווה 1. מחברים שני מספרים בני ארבע ספרות. המקסימום האפשרי הוא 19998, ולכן הספרה החמישית של התוצאה היא לכל היותר 1. היא גם אינה יכולה להיות 0, כי אז MONEY לא היה מספר בן חמש ספרות. לכן M שווה 1.

שלב 2 - S שווה 9 ו-O שווה 0. בטור השמאלי ביותר מתקיים: S ועוד M ועוד נשיאה אפשרית שווה עשר כפול M ועוד O. מכיוון ש-M שווה 1, זה נעשה S ועוד 1 ועוד נשיאה שווה עשר ועוד O.

אם אין נשיאה, S שווה תשע ועוד O. אם יש נשיאה, S שווה שמונה ועוד O. בשני המקרים S היא הגדולה שבספרות, ו-O היא הקטנה. מכיוון ש-M כבר תפסה את 1, הערך הנמוך היחיד שנשאר ל-O הוא 0. ואז S שווה 9 או 8. נראה מיד שרק 9 שורד.

שלב 3 - N שווה E ועוד אחד. נעבור לטור השני משמאל: E ועוד O ועוד נשיאה מהטור שמימין שווה N, אולי בתוספת עשר. מכיוון ש-O שווה 0, מתקבל: E ועוד נשיאה שווה N.

אם לא הייתה נשיאה, היינו מקבלים N שווה E - וזה אסור, כי אותיות שונות מקבלות ספרות שונות. לכן הייתה נשיאה, ומתקיים N שווה E ועוד 1. כמו כן הטור הזה עצמו אינו מייצר נשיאה - ולכן S שווה 9 בדיוק, ולא 8.

שלב 4 - R שווה 8. נעבור לטור הבא: N ועוד R ועוד נשיאה שווה E ועוד עשר, כי אנחנו כבר יודעים שטור זה מייצר נשיאה. נציב N שווה E ועוד 1 ונקבל: R ועוד הנשיאה מהטור הימני שווה 9.

הספרה 9 כבר תפוסה על ידי S, ולכן R אינה יכולה להיות 9 - כלומר הייתה נשיאה מהטור הימני, ומכאן R שווה 8.

שלב 5 - הטור האחרון. נותר: D ועוד E שווה Y ועוד עשר, שכן ראינו שהטור הזה מייצר נשיאה.

הספרות שכבר נתפסו הן 9, 1, 0 ו-8. נשארו לחלוקה 2, 3, 4, 5, 6, 7 בין D, E, N ו-Y, כאשר N שווה E ועוד 1.

הזוגות האפשריים של E ו-N הם 2 ו-3, 3 ו-4, 4 ו-5, 5 ו-6, או 6 ו-7. עוברים עליהם אחד אחד ובודקים אם נותר ל-D ול-Y פתרון חוקי במשוואה D ועוד E שווה Y ועוד עשר.

רק אפשרות אחת שורדת: E שווה 5 ו-N שווה 6. אז D ועוד 5 שווה Y ועוד עשר, כלומר D שווה Y ועוד 5. מהספרות שנותרו - 2, 3, 4, 7 - הזוג היחיד שמקיים זאת הוא D שווה 7 ו-Y שווה 2.

וזהו. הפתרון שלם, ואין אחר.

כמה פתרונות יש?

בדיוק אחד. וזו אחת הסיבות לפרסום העצום של החידה: רוב תרגילי האותיות מסוג זה מניבים כמה פתרונות, ואילו כאן הניסוח נעול לחלוטין - עם הכלל שאסור למספר להתחיל באפס, התשובה יחידה.

אם מוותרים על הכלל הזה ומרשים ל-M להיות 0, מתווספים פתרונות נוספים - והקסם מתפוגג.

מי היה דודני?

הנרי ארנסט דודני, 1857 עד 1930, היה פקיד בשירות הממשלה הבריטית שהפך למחבר החידות המתמטיות הידוע ביותר בזמנו. הוא פרסם חידות בעיתונים ובמגזינים במשך עשרות שנים, ואסף אותן לספרים שנקראים עד היום.

החידה הזאת הופיעה לראשונה בכתב העת הבריטי Strand Magazine ביולי 1924. דודני לא המציא את הרעיון של תרגילי אותיות - הוא כבר היה מוכר - אבל הוא זה שנתן לו את הניסוח המושלם: משפט בעל משמעות, פתרון יחיד, ודרך פתרון שכולה היגיון ולא ניסוי וטעייה.

המשפחה הרחבה

חידות מסוג זה נקראות אלפאמטיקה או קריפטארתמטיקה. הן תופסות מקום מיוחד גם במדעי המחשב, ומשמשות דוגמה קלאסית להוראת בעיות סיפוק אילוצים - בעיות שבהן מחפשים השמה למשתנים תחת מערכת מגבלות.

מחשב פותר את SEND ועוד MORE שווה MONEY בשבריר שנייה. אדם פותר אותה בעיפרון, אם הוא יודע באיזה טור להתחיל.