צילום: Donald Trung, Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)

קחו אוסף גדול של מספרים מהעולם האמיתי: אורכי נהרות, אוכלוסיות של ערים, שערי מניות, סכומים בקבלות של סופרמרקט, קבועים פיזיקליים. עכשיו התעלמו מהמספר עצמו והסתכלו רק על הספרה הראשונה שלו. האינטואיציה אומרת שאין שום סיבה שספרה אחת תהיה מועדפת על פני חברתה, ולכן כל אחת מתשע הספרות אמורה להופיע בערך ב-11 אחוז מהמקרים.

המציאות אחרת לגמרי. בשנת 1881 שם לב האסטרונום האמריקאי סיימון ניוקומב לפרט מוזר בספרייה: הדפים הראשונים של טבלאות הלוגריתמים, אלה שמתחילים בספרה 1, היו מרופטים ומלוכלכים הרבה יותר מן הדפים האחרונים. הוא הסיק שאנשים מחפשים מספרים שמתחילים ב-1 הרבה יותר מאשר מספרים שמתחילים ב-9, ופרסם על כך הערה קצרה שאיש לא שם לב אליה.

חמישים ושבע שנים אחר כך, ב-1938, חזר הפיזיקאי פרנק בנפורד על אותה תצפית - ובניגוד לניוקומב, הוא טרח לבדוק. בנפורד אסף 20,229 מספרים מעשרים מקורות שונים לחלוטין: שטחי נהרות, מספרי בתים, קבועי חום סגולי, אוכלוסיות, מספרים מעמודי עיתונים. בכל אחד מן המקורות כמעט חזרה אותה תבנית עקשנית.

הכלל שהתקבל נראה כך: השכיחות של ספרה ראשונה d שווה ללוגריתם בבסיס 10 של הביטוי (1 + 1 חלקי d).

השאלה: מהי לפי הנוסחה השכיחות של הספרה 1, ומהי השכיחות של הספרה 9? למה בכלל התפלגות כזאת חוזרת שוב ושוב בנתונים שאין ביניהם שום קשר - ומדוע היא דווקא איננה תקפה לגבי גבהים של בני אדם או לגבי מספרי טלפון?

רמז דק

השאלה איננה על המספרים עצמם אלא על הלוגריתמים שלהם. דמיינו סרגל לוגריתמי - כזה שהיה על סרגל חישוב ישן - שבו המרחק בין 1 ל-2 גדול בהרבה מן המרחק בין 8 ל-9.

שאלו את עצמכם: איזה חלק מן הסרגל שבין 1 ל-10 תופס הקטע שבו הספרה הראשונה היא 1?

רמז עבה

על סרגל לוגריתמי הקטע שבין 1 ל-2 תופס לוג 2, כלומר כ-0.301 מן האורך הכולל. הקטע שבין 2 ל-3 תופס לוג של 3 חלקי 2, כלומר כ-0.176. הקטע שבין 9 ל-10 תופס רק לוג של 10 חלקי 9, כ-0.046.

עכשיו הניחו שהנתונים שלכם משתרעים על כמה סדרי גודל, ושאין להם יחידת מידה מועדפת - אותה תופעה נראית זהה בין אם נמדוד אותה בקילומטרים או במיילים. ההנחה הזאת מכריחה את הלוגריתם של הנתונים להתפרס באופן אחיד לאורך הסרגל. וכשההתפרסות אחידה, ההסתברות ליפול בקטע מסוים שווה בדיוק לאורכו.

פתרון

החישוב: שכיחות הספרה 1 היא לוג 2, כלומר 0.301 - כמעט שליש מכל המספרים. שכיחות הספרה 9 היא לוג של 10 חלקי 9, כלומר 0.0458 - פחות מ-5 אחוזים. הספרה 1 שכיחה פי שישה וחצי מן הספרה 9.

הטבלה המלאה: 1 מופיעה ב-30.1 אחוז מן המקרים, 2 ב-17.6, 3 ב-12.5, 4 ב-9.7, 5 ב-7.9, 6 ב-6.7, 7 ב-5.8, 8 ב-5.1 ו-9 ב-4.6 אחוזים בלבד. סכום כל השכיחויות הוא לוג 10, כלומר בדיוק 1.

ולמה זה עובד: מפני שהחוק הוא היחיד שאיננו משתנה כשמחליפים יחידות מידה. אם התפלגות הספרה הראשונה של אורכי הנהרות היא אחת בקילומטרים ואחרת במיילים - סימן שהמספרים "יודעים" באיזו יחידה נמדדו, וזה כמובן אבסורד. אפשר להוכיח שההתפלגות היחידה שנשמרת תחת כפל בכל קבוע היא בדיוק ההתפלגות הלוגריתמית של בנפורד. הסבר משלים: תהליכים שגדלים בשיעור אחוזי - אוכלוסייה, ריבית, מכירות - שוהים זמן רב יותר בתחום שבין 100 ל-200 מאשר בתחום שבין 900 ל-1000, פשוט מפני שנדרשת להם הכפלה שלמה כדי לחצות את הראשון.

ולמה זה לא עובד תמיד: החוק דורש שהנתונים ישתרעו על כמה סדרי גודל. גבהים של בני אדם בסנטימטרים מצטופפים כמעט כולם בין 150 ל-200, כך שהספרה הראשונה היא כמעט תמיד 1 - אין כאן טווח. מספרי טלפון, מספרי זהות ומספרי חשבון אינם נתונים שנמדדו אלא תוויות שהוקצו לפי כללים שרירותיים, ולכן גם הם אינם מצייתים לחוק.

ולסיום, השימוש המעשי: כשאדם ממציא מספרים הוא נוטה לפזר את הספרה הראשונה באופן שווה, מפני שכך אומרת האינטואיציה. לכן חוק בנפורד משמש היום בחשבונאות משפטית ככלי לסינון ראשוני של דוחות כספיים והחזרי מס חשודים. הוא איננו הוכחה לזיוף, אך חריגה חדה ממנו היא נורה אדומה שמכוונת את הבודקים לאן להסתכל.