המספר שדילג על הספרה 8 - וכל הכפלה שלו מייצרת שורה של ספרה אחת

שורות של תאי דואר ורודים ועליהם מספרים מוטבעים

צילום: Jerry Kiesewetter, Unsplash דרך Wikimedia Commons (CC0)

קחו עיפרון וכתבו את הספרות לפי הסדר, מ-1 עד 9 - אבל דלגו על הספרה 8.

קיבלתם את המספר 12345679. הוא נראה כמו טעות הקלדה, אבל הוא בדיוק המספר שאנחנו רוצים.

עכשיו הכפילו אותו ב-9:

12345679 × 9 = 111111111

תשע יחידות רצופות. עכשיו נסו להכפיל ב-18:

12345679 × 18 = 222222222

וב-27 תקבלו 333333333, וב-36 תקבלו 444444444, וכך הלאה - עד 12345679 × 81 = 999999999.

השאלה: למה זה קורה - ולמה דווקא הספרה 8 היא זו שהייתה צריכה להיעלם?

+ - רמז דק Click to collapse

אל תחפשו את הקסם בכפל. חפשו אותו בחילוק.

שאלו את עצמכם: מה מקבלים כשמחלקים את המספר 111111111 בתשע?

+ - רמז עבה Click to collapse

כל המכפילים שעובדים כאן - 9, 18, 27, 36 ועד 81 - הם בדיוק הכפולות של תשע: 9 כפול 1, 9 כפול 2, 9 כפול 3 וכן הלאה.

כלומר כל תרגיל כאן הוא בעצם אותו תרגיל אחד, מוכפל במספר קטן. אם תבינו את התרגיל הראשון, הבנתם את כולם.

+ - פתרון Click to collapse

הכול נובע משוויון אחד ויחיד:

111111111 ÷ 9 = 12345679

כלומר 12345679 אינו מספר אקראי - הוא בפשטות התוצאה של חלוקת שורת תשע היחידות בתשע. לכן כשמחזירים אותו לכפל בתשע, מקבלים שוב 111111111.

ומכאן השאר מיידי. אם נסמן מכפיל בצורה 9n, אז:

12345679 × 9n = (12345679 × 9) × n = 111111111 × n

והכפלת 111111111 במספר בין 1 ל-9 פשוט משכפלת את הספרה תשע פעמים. זו הסיבה שהתוצאה תמיד נראית כמו שורה של אותה ספרה.

ולמה נעלמת דווקא הספרה 8?

בצעו את החילוק הארוך של 111111111 בתשע בעצמכם, ספרה אחרי ספרה. תגלו שהמנה מתקדמת 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - ואז, במקום 8, השארית מכתיבה קפיצה ישירה ל-9.

במילים אחרות, החֶסֶר של הספרה 8 אינו גחמה יפה אלא תוצאה הכרחית של החילוק. אילו הייתה שם 8, המספר היה גדול מדי, והמכפלה בתשע הייתה חורגת מתשע הספרות.

שווה לנסות

אותה משפחה קיימת בכל אורך: 12345679 הוא המקרה בן תשע הספרות, אבל גם 1÷9 = 0.111..., 1÷81 = 0.0123456790123... מסתירים בדיוק את אותה תבנית - כולל אותה קפיצה מעל הספרה 8.