צילום: Chiswick Chap, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

סדרת פיבונאצ'י היא כנראה הסדרה המפורסמת ביותר במתמטיקה: מתחילים בשני אחדים, וכל איבר הוא סכום שני קודמיו. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 וכן הלאה. היא נקראת על שמו של לאונרדו מפיזה, המכונה פיבונאצ'י, שהציג אותה בספרו מ-1202 באמצעות שאלה על התרבות ארנבים - אף שהסדרה עצמה הופיעה כבר מאות שנים קודם לכן אצל מלומדים הודים שעסקו במשקלי שירה.

בטבע היא מבצבצת שוב ושוב. מספר הסלילים בתפרחת חמנייה, סידור הקשקשים באצטרובל, מספר עלי הכותרת בפרחים רבים - כמעט תמיד מדובר באיבר של פיבונאצ'י. הסיבה נעוצה בזווית הזהב, שהיא הדרך היעילה ביותר לארוז זרעים על מישור מעגלי בלי שיסתירו זה את זה.

אבל יש לסדרה הזאת מקום מסתור מפתיע הרבה יותר, ואין בו שום קשר לביולוגיה. קחו מחשבון וחלקו 1 ב-89. התוצאה שתתקבל היא 0.011235955056179775...

הסתכלו על הספרות הראשונות שלה בזוגות של דמיון: 0, ואז 1, ואז 1, ואז 2, ואז 3, ואז 5. אלה בדיוק האיברים הראשונים של סדרת פיבונאצ'י. ואם ממשיכים - 8, 13, 21, 34 - הם עדיין שם, אלא שהם מתחילים להשתלב זה בזה ולערבב את הספרות, משום שהם כבר תופסים יותר ממקום עשרוני אחד.

שימו לב גם למספר 89 עצמו: הוא איבר בסדרת פיבונאצ'י. האם זו סתם מקריות נחמדה, או שיש כאן משהו עמוק יותר?

השאלה: מדוע דווקא חלוקה ב-89 מייצרת את סדרת פיבונאצ'י בספרותיה? מהיכן מגיע המספר 89 - ומה יקרה אם נרצה לראות את איברי הסדרה בבירור, בבלוקים של שתי ספרות במקום אחת?

רמז דק

כתבו את איברי הסדרה זה מתחת לזה, כשכל איבר מוזז ספרה אחת ימינה ביחס לקודמו, וחברו את העמודה. השורה הראשונה 0.0, השנייה 0.01, השלישית 0.001, הרביעית 0.0002, החמישית 0.00003 וכן הלאה. מה מתקבל?

רמז עבה

סמנו S שווה לסכום של F(n) חלקי 10 בחזקת n, כאשר n רץ מ-1 ואילך. עכשיו השתמשו בכלל היסוד של הסדרה, F(n) שווה ל-F(n-1) ועוד F(n-2), כדי לבטא את S באמצעות S עצמו. תקבלו משוואה לינארית פשוטה באלמוני אחד - ומן המכנה שלה יצוץ המספר שאתם מחפשים.

פתרון

נגדיר S כסכום האינסופי של F(n) חלקי 10 בחזקת n: כלומר 1/10 ועוד 1/100 ועוד 2/1000 ועוד 3/10000 וכן הלאה.

לפי כלל הסדרה, כל איבר החל מן השלישי שווה לסכום שני קודמיו. אם נפריד את שני האיברים הראשונים ונחליף את כל השאר, נקבל שוויון בין S לבין 1/10 ועוד S חלקי 10 ועוד S חלקי 100. נכפיל את שני האגפים ב-100 ונקבל: 100S שווה ל-10 ועוד 10S ועוד S, כלומר 89S שווה ל-10, ומכאן S שווה ל-10 חלקי 89.

הסכום שראינו בפריסה העשרונית מוזז ספרה אחת ימינה, כלומר הוא S חלקי 10 - ולכן הוא שווה בדיוק ל-1 חלקי 89. זה ההסבר המלא.

ומהיכן 89? הפונקציה היוצרת של סדרת פיבונאצ'י היא 1 חלקי (1 פחות x פחות x בריבוע). כשמציבים x שווה ל-1 חלקי 10, המכנה הופך ל-(100 פחות 10 פחות 1) חלקי 100, כלומר 89 חלקי 100. המספר 89 הוא פשוט 10 בריבוע פחות 10 פחות 1. העובדה ש-89 הוא גם איבר בסדרה היא צירוף מקרים משעשע ולא הסיבה.

ומכאן גם התשובה לשאלה האחרונה: אם רוצים בלוקים של שתי ספרות, מציבים x שווה ל-1 חלקי 100 ומקבלים 10000 פחות 100 פחות 1, כלומר 9899. ואכן, 1 חלקי 9899 שווה ל-0.00010102030508132134559046... - ובבלוקים של שתיים: 00, 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, 34, 55. הסדרה קריאה הרבה יותר, עד שגם כאן האיברים גדלים מעבר לשתי ספרות והנשא מתחיל לטשטש אותם.

באותו אופן 1 חלקי 998999 ייתן את הסדרה בבלוקים של שלוש ספרות, וכן הלאה.