צילום: AS Photography, Wikimedia Commons (CC BY 4.0)

בספרו "אריתמטיקה אוניברסלית", אוסף ההרצאות שהעביר בקיימברידג' ופורסם ב-1707, הציב אייזק ניוטון בעיה שנראית תמימה לגמרי - ומפילה כמעט את כל מי שפוגש אותה בפעם הראשונה.

הנה גרסה נקייה שלה:

שדה מרעה מכוסה עשב. העשב ממשיך לצמוח כל העת בקצב אחיד, וכל הפרות אוכלות באותו קצב.

ידוע ש-12 פרות מכלות את כל עשב השדה בדיוק בארבעה שבועות.

ידוע גם ש-8 פרות מכלות את כל עשב אותו שדה בדיוק בשמונה שבועות.

השאלה: כמה פרות יכלו את עשב השדה בדיוק בשישה עשר שבועות?

רמז דק

לפני שאתם מחשבים, שימו לב לסתירה לכאורה: 12 פרות במשך 4 שבועות הן 48 "שבועות פרה", ואילו 8 פרות במשך 8 שבועות הן 64. אותו שדה בדיוק - ובכל זאת נאכל ממנו יותר. מאיפה הגיע ההפרש?

רמז עבה

השדה אינו מחסן סגור אלא ברז פתוח. סמנו ב-G את כמות העשב שהייתה בשדה ברגע ההתחלה, וב-r את כמות העשב שצומחת בו בכל שבוע. הניחו שפרה אחת אוכלת יחידת עשב אחת בשבוע. כתבו שתי משוואות לפי שני הנתונים, ופתרו אותן זו מול זו.

פתרון

נסמן: G היא כמות העשב ההתחלתית, r היא כמות העשב הצומחת בשבוע, ופרה אחת אוכלת יחידה אחת בשבוע.

בכל תרחיש, מה שהפרות אוכלות שווה למלאי ההתחלתי ועוד כל מה שהספיק לצמוח:

תרחיש ראשון: 12 כפול 4 שווה G ועוד 4r, כלומר 48 שווה G ועוד 4r.

תרחיש שני: 8 כפול 8 שווה G ועוד 8r, כלומר 64 שווה G ועוד 8r.

נחסר את הראשונה מהשנייה: 16 שווה 4r, ומכאן r שווה 4 - בכל שבוע צומחות ארבע יחידות עשב.

נציב חזרה: 48 שווה G ועוד 16, ומכאן G שווה 32.

עכשיו לשאלה. נסמן ב-n את מספר הפרות המבוקש:

n כפול 16 שווה G ועוד 16r, כלומר n כפול 16 שווה 32 ועוד 64, שהם 96.

ומכאן n שווה 6.

התשובה: שש פרות.

שימו לב כמה מטעה כאן האינטואיציה. מי שמתייחס לשדה כאל כמות קבועה יחלק 48 בשישה עשר ויקבל שלוש פרות - פחות מחצי מהתשובה הנכונה. הצמיחה המתמשכת היא שמכפילה את מספר הפרות שהשדה יכול להחזיק לאורך זמן.

ויש כאן גם תובנה יפה: ארבע יחידות בשבוע הן בדיוק מה שארבע פרות אוכלות. כלומר ארבע פרות היו יכולות לרעות בשדה לנצח, בלי לכלות אותו לעולם. כל פרה מעבר לארבע היא זו שמכרסמת את המלאי ההתחלתי, וקובעת מתי ייגמר.

הבעיה המקורית של ניוטון הייתה מסובכת עוד יותר וכללה גם שטחי מרעה בגדלים שונים - אבל העיקרון בדיוק זהה.