צילום: Sankar 1995, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

בקיץ 1654 פנה אציל צרפתי בשם אנטואן גומבו, המוכר יותר בכינויו שבלייה דה מרה, אל מתמטיקאי צעיר בשם בלז פסקל עם שאלה שהטרידה אותו משולחנות ההימורים. פסקל לא הצליח להיות בטוח בתשובתו, ופתח בהתכתבות עם עורך דין מטולוז ששמו פייר דה פרמה. חילופי המכתבים ביניהם באותו קיץ נחשבים היום ללידתה של תורת ההסתברות.

וזו השאלה. שני שחקנים מהמרים על סדרת סיבובים הוגנים - נניח הטלת מטבע - שבכל אחד מהם לכל שחקן סיכוי שווה לנצח. כל אחד מהם הניח על השולחן 32 מטבעות זהב, ובקופה יש 64. הכלל: הראשון שינצח בשלושה סיבובים לוקח את כל הקופה.

המשחק מתחיל. השחקן הראשון מנצח בסיבוב, מפסיד בשני, ומנצח בשלישי. התוצאה עומדת על 2 מול 1 לטובתו. וכאן, בדיוק ברגע הזה, המשחק נקטע ואי אפשר להמשיך אותו.

איך יש לחלק את 64 המטבעות?

מאה ושישים שנה קודם לכן ענה על שאלה כזאת לוקה פאצ'ולי, הנזיר הפרנציסקני שנחשב לאבי החשבונאות הכפולה. תשובתו הייתה פשוטה: מחלקים לפי הסיבובים שכבר הוכרעו, כלומר ביחס 2 ל-1 - 42 ושני שליש מול 21 ושליש. נילו טרטליה, מתמטיקאי איטלקי אחר, פקפק בכך ואמר שלדעתו לשאלה אין בכלל פתרון מתמטי אלא רק משפטי.

השאלה: מהי החלוקה הנכונה של 64 המטבעות, ומדוע התשובה של פאצ'ולי, ההגיונית לכאורה, שגויה מן היסוד?

רמז דק

אל תשאלו מה כבר קרה. שאלו מה עוד היה עשוי לקרות. מהו מספר הסיבובים המרבי שהיה עוד נדרש כדי להכריע את המשחק?

רמז עבה

במצב של 2 מול 1, המשחק היה מסתיים לכל היותר בתוך שני סיבובים נוספים. רשמו את ארבעת ההמשכים האפשריים - גם אם באחד מהם הסיבוב האחרון כבר לא היה נדרש בפועל. בגלל שכל סיבוב הוגן, ארבעת ההמשכים שווי סיכוי בדיוק. עכשיו ספרו בכמה מהם כל שחקן מנצח.

פתרון

החלוקה הנכונה היא 48 מטבעות לשחקן שמוביל ו-16 לשחקן שמפגר - יחס של 3 ל-1.

הדרך של פרמה: המוביל זקוק לניצחון אחד נוסף, יריבו זקוק לשניים. לכן שני סיבובים נוספים מספיקים בוודאות כדי להכריע. נרשום את כל ההמשכים האפשריים של שני סיבובים, ונסמן ב-A ניצחון של המוביל וב-B ניצחון של יריבו: AA, AB, BA, BB.

ארבעת ההמשכים שווי סיכוי. בשלושה מהם - AA, AB ו-BA - המוביל השיג את הניצחון השלישי שלו וזכה. רק ב-BB הצליח יריבו לגרוף שני ניצחונות רצופים ולנצח. כלומר סיכויי הזכייה הם שלוש רבעים מול רבע, והחלוקה ההוגנת של 64 היא 48 מול 16.

הנקודה העדינה שהטרידה את פסקל היא ש-AB ו-AA כוללים סיבוב שכלל לא היה מתקיים במציאות - אחרי הניצחון הראשון של A המשחק כבר נגמר. אבל אין בכך פגם: הוספת סיבוב מיותר איננה משנה מי ניצח, והיא רק מאפשרת לנו לעבוד עם ארבעה מקרים שווי סיכוי במקום שלושה מקרים בעלי סיכויים שונים.

הדרך של פסקל, רקורסיבית ואלגנטית לא פחות: נניח שהיו משחקים עוד סיבוב אחד. בסיכוי של מחצית המוביל מנצח בו ולוקח את כל 64. בסיכוי של מחצית יריבו מנצח, התוצאה משתווה ל-2 מול 2, ובמצב סימטרי כזה מגיע לכל אחד בדיוק 32. התוחלת של המוביל היא לכן מחצית מ-64 ועוד מחצית מ-32, כלומר 32 ועוד 16 - שהם 48.

ומדוע פאצ'ולי טעה? מפני שחלוקה הוגנת צריכה לשקף את סיכויי הזכייה בהמשך המשחק, ולא את מה שכבר קרה. הדבר בולט במיוחד בדוגמה קיצונית: אילו התוצאה הייתה 2 מול 0, כלל פאצ'ולי היה מעניק ליריב אפס מטבעות - אף שבפועל עדיין נותר לו סיכוי של אחד לשמונה לנצח, ולכן מגיעים לו שמונה מטבעות. ואילו התוצאה הייתה 1 מול 0 בלבד, פאצ'ולי היה מעניק למוביל את כל הקופה, וזו כמובן שטות.

ההבחנה הזאת - בין מה שקרה לבין מה שעשוי לקרות - היא הרעיון שממנו צמחו מושג התוחלת, עץ ההסתברויות והמשולש שנקרא עד היום על שמו של פסקל.