צילום: Franco Folini, Wikimedia Commons (CC BY-SA 2.0)

בסתיו 1973 נרשמו לתוכניות התואר השני של אוניברסיטת קליפורניה בברקלי כשנים עשר אלף וחצי מועמדים. כשההנהלה בחנה את נתוני הקבלה, התוצאה נראתה חד-משמעית: מבין כ-8,400 הגברים שהגישו מועמדות התקבלו כ-44 אחוזים, ומבין כ-4,300 הנשים התקבלו כ-35 אחוזים. פער של תשע נקודות אחוז במדגם כה גדול אינו יכול להיות מקרי, והאוניברסיטה נערכה לתביעה משפטית.

ואז ישבו שלושה חוקרים - פיטר ביקל, יוג'ין האמל וג'יי ויליאם או'קונל - ופירקו את הנתונים לפי מחלקות. כל מחלקה בברקלי מקבלת את הסטודנטים שלה בעצמה; אין ועדת קבלה מרכזית אחת. וכשבדקו מחלקה מול מחלקה, התמונה התהפכה: ברוב המחלקות שיעור הקבלה של הנשים היה שווה לזה של הגברים או גבוה ממנו במקצת. הממצא פורסם בכתב העת Science בשנת 1975.

שימו לב שאין כאן שום טעות חישוב ואין כאן שני מקורות נתונים סותרים. מדובר באותה טבלה בדיוק, נספרת פעם אחת בסך הכול ופעם אחת מחלקה-מחלקה. שתי הספירות נכונות.

התופעה קרויה על שמו של הסטטיסטיקאי הבריטי אדוארד סימפסון, שתיאר אותה במאמר משנת 1951, אף שקדמו לו קרל פירסון ב-1899 ואודני יול ב-1903 - ולכן יש הקוראים לה גם "אפקט יול-סימפסון".

השאלה: כיצד ייתכן שבכל מחלקה בנפרד שיעור הקבלה של הנשים אינו נופל משיעור הקבלה של הגברים, ובכל זאת בסיכום הכללי הוא נמוך ממנו בהרבה? ומה, אם כך, האמת - הייתה שם אפליה או לא?

רמז דק

הסיכום הכללי אינו ממוצע פשוט של האחוזים בכל מחלקה. הוא ממוצע משוקלל, והמשקלים הם מספרי המועמדים.

שאלו את עצמכם לא רק מי התקבל, אלא לאן בכלל הגישו הנשים מועמדות ולאן הגישו הגברים.

רמז עבה

דמיינו שתי מחלקות בלבד. באחת מקבלים בקלות ורוב המועמדים מתקבלים; בשנייה התחרות אכזרית ורק אחוזים בודדים נכנסים. כעת הניחו שרוב מוחלט של הגברים הגיש מועמדות למחלקה הקלה, ורוב מוחלט של הנשים הגיש למחלקה הקשה.

נסו לבנות מספרים קטנים שממחישים זאת, ובדקו מה יוצא בכל מחלקה בנפרד ומה יוצא בסיכום.

פתרון

הנה דוגמה מספרית קטנה שמייצרת את הפרדוקס במלואו. במחלקה א' מקבלים ברוחב לב: מתוך 100 גברים שהגישו התקבלו 60, כלומר 60 אחוזים; מתוך 10 נשים שהגישו התקבלו 7, כלומר 70 אחוזים. במחלקה ב' התחרות קשה: מתוך 10 גברים התקבל 1, כלומר 10 אחוזים; מתוך 100 נשים התקבלו 15, כלומר 15 אחוזים.

בכל אחת משתי המחלקות בנפרד מצבן של הנשים טוב יותר. ובכל זאת בסיכום: 110 גברים, 61 התקבלו - כ-55 אחוזים. 110 נשים, 22 התקבלו - 20 אחוזים בלבד. הפער בסיכום עצום, והוא נוצר כולו מכך שכמעט כל הגברים בדוגמה נצטופפו במחלקה הנדיבה וכמעט כל הנשים במחלקה הצפופה.

זה בדיוק מה שקרה בברקלי. המחלקות הפופולריות בקרב הנשים - למשל במדעי הרוח והחינוך - היו מחלקות עם שיעורי קבלה נמוכים, מפני שהיו בהן פחות מקומות ויותר מועמדים. המחלקות שאליהן פנו גברים בשיעור גבוה - הנדסה וכימיה למשל - קיבלו באותה תקופה חלק ניכר ממי שהגיש מועמדות. משתנה שלישי, הבחירה במחלקה, קשור גם למין המועמד וגם לסיכויי הקבלה, ולכן הוא מעוות את התמונה הכללית.

ומה לגבי השאלה השנייה, אם הייתה אפליה? כאן טמון הלקח החשוב באמת. הנתונים המפורקים מראים שוועדות הקבלה עצמן לא הפלו נשים, ואף נטו לטובתן במקצת. אבל הם אינם מוכיחים שלא הייתה אי-שוויון בכלל: החוקרים עצמם ציינו שהשאלה מדוע נשים פנו דווקא לתחומים הצפופים והדלים במימון היא שאלה חברתית לגיטימית לחלוטין, שהנתונים האלה אינם עונים עליה.

וזוהי הנקודה הכללית שפרדוקס סימפסון מלמד: אי אפשר להכריע בשאלה סיבתית מתוך טבלה בלבד. אותה טבלה תומכת בשתי מסקנות הפוכות, תלוי אם מפרקים אותה לפי משתנה מסוים או לא. ההחלטה אם לפרק ולפי מה לפרק אינה החלטה סטטיסטית אלא החלטה שנשענת על הבנה של המנגנון שמאחורי המספרים. סטטיסטיקאים מכנים זאת "בעיית המשתנה החבוי", והדוגמאות מגיעות מכל תחום - ממחקר משנת 1986 שהשווה שתי שיטות טיפול באבני כליה, שבו שיטה אחת הובילה בשתי קבוצות החומרה בנפרד והפסידה בסיכום הכולל, ועד לממוצעי חבטה בבייסבול שבהם שחקן מוביל על יריבו בשתי עונות רצופות ומפגר אחריו בסיכום השנתיים.