לרוב, כשמחברים שלושה מספרים ומכפילים אותם, מקבלים שתי תוצאות שונות לגמרי. הפעם אנחנו מחפשים בדיוק את המקרה ההפוך.

מצאו שלושה מספרים שלמים וחיוביים שהסכום שלהם שווה בדיוק למכפלה שלהם. כלומר, שלושה מספרים a, b ו-c המקיימים:

a + b + c = a × b × c

האם בכלל קיים פתרון כזה? וכמה פתרונות שונים יש?

רמז דק

נסו לשלב במשולש את המספר 1. הוא כמעט לא משפיע על המכפלה, אבל כן מוסיף לסכום - וזה בדיוק סוג האיזון שאנחנו מחפשים.

רמז עבה

נניח שהמספרים מסודרים מהקטן לגדול, כלומר a ≤ b ≤ c. אז הסכום a+b+c אינו גדול מ-3c, ולכן גם המכפלה a×b×c אינה גדולה מ-3c. חלקו את שני האגפים ב-c, וקבלו תנאי פשוט מאוד על a ו-b. כמה אפשרויות נשארות לבדיקה?

פתרון

הפתרון היחיד הוא 1, 2 ו-3:

1 + 2 + 3 = 6   וגם   1 × 2 × 3 = 6.

מדוע זהו הפתרון היחיד?

נסמן a ≤ b ≤ c. מתקיים a+b+c ≤ c+c+c = 3c, ולכן a×b×c ≤ 3c, ואחרי חלוקה ב-c מקבלים a×b ≤ 3. נותרו שלוש אפשרויות בלבד:

• a=1, b=1: המשוואה הופכת ל-c + 2 = c - ואין לה פתרון.

• a=1, b=2: המשוואה הופכת ל-c + 3 = 2c, ומכאן c = 3. זהו הפתרון.

• a=1, b=3: המשוואה הופכת ל-c + 4 = 3c, ומכאן c = 2 - אך זה נוגד את ההנחה ש-b ≤ c, וממילא מדובר באותה שלישייה עצמה.

ובאמת, השלישייה 1, 2, 3 היא היחידה בעולם המספרים השלמים החיוביים שבה החיבור והכפל מגיעים לאותה תוצאה.