שכן חדש עבר לבניין. אנחנו יודעים עליו דבר אחד בלבד: יש לו בדיוק שני ילדים.

יום אחד אנחנו פוגשים אותו במעלית, והוא מספר לנו דרך אגב: "לפחות אחד משני הילדים שלי הוא בן."

נניח לצורך החידה שלכל ילד יש סיכוי שווה להיוולד בן או בת, ושהמין של ילד אחד אינו תלוי במין של אחיו.

מה ההסתברות שגם הילד השני הוא בן?

רוב האנשים עונים מיד "חצי" - הרי לילד השני יש שני מינים אפשריים בסיכוי שווה. התשובה הזאת איננה נכונה.

ואם כבר פתרתם, נסו לענות גם על שאלת ההמשך: מה הייתה התשובה אילו השכן היה אומר במקום זאת "הילד הבכור שלי הוא בן"?

רמז דק

אל תחשבו על "הילד השני" כאילו הוא נבחר מראש. השכן לא הצביע על ילד מסוים - הוא רק אמר משפט על הזוג כולו.

רשמו את כל האפשרויות לזוג ילדים לפי סדר הלידה, ובדקו אילו מהן עדיין אפשריות אחרי המשפט ששמעתם.

רמז עבה

לזוג ילדים לפי סדר לידה יש בדיוק ארבע אפשרויות, וכולן שוות הסתברות: בן-בן, בן-בת, בת-בן, בת-בת.

המשפט "לפחות אחד מהם בן" פוסל אפשרות אחת בלבד - בת-בת. נשארו שלוש אפשרויות שוות הסתברות.

עכשיו ספרו: בכמה מתוך שלוש האפשרויות שנותרו שני הילדים הם בנים?

פתרון

ההסתברות היא שליש, ולא חצי.

נסמן את שני הילדים לפי סדר הלידה. ארבעת המצבים האפשריים - בן-בן, בן-בת, בת-בן, בת-בת - הם שווי הסתברות, רבע לכל אחד.

המידע שקיבלנו, "לפחות אחד מהילדים הוא בן", מוציא מהמשחק את בת-בת בלבד. נשארנו עם שלושה מצבים אפשריים: בן-בן, בן-בת ובת-בן, וכולם עדיין שווי הסתברות זה לזה.

רק באחד מהשלושה - בן-בן - גם הילד השני הוא בן. לכן ההסתברות היא אחד חלקי שלוש, כלומר בערך 33 אחוזים.

ולשאלת ההמשך: אם השכן היה אומר "הבכור שלי הוא בן", המידע היה שונה לגמרי. הוא היה מצביע על ילד מסוים, וההגרלה היחידה שנותרה היא של הילד השני. במקרה כזה נשארות רק שתי אפשרויות - בן-בן ובן-בת - וההסתברות היא בדיוק חצי.

זה בדיוק לב העניין: אותה עובדה, "יש כאן בן", מובילה לתשובה אחרת לגמרי תלוי בשאלה כיצד היא הגיעה אלינו. חידה זו מוכרת בעולם בשם פרדוקס שני הילדים, והיא מדגימה כמה קל להטעות את האינטואיציה ההסתברותית שלנו.