על השולחן מונחים עשרה שקים, ובכל שק מאה מטבעות. מטבע תקין שוקל בדיוק 10 גרם.

אחד השקים - ורק אחד - מכיל מטבעות מזויפים. כל מטבע מזויף שוקל 9 גרם בדיוק, כלומר גרם אחד פחות. במבט, במשקל היד או בצליל אין שום דרך להבדיל.

לרשותכם משקל דיגיטלי מדויק, שמציג את המשקל בגרמים. אבל יש מגבלה אחת קשה: מותר להפעיל את המשקל פעם אחת בלבד. שקילה אחת. אחריה המשקל נכבה.

איך מזהים בוודאות איזה מן העשרה הוא השק המזויף - בשקילה אחת?

אין צורך לשקול שק שלם, ואין הגבלה על מספר המטבעות שתוציאו מכל שק.

רמז דק

אם תשקלו מטבע אחד מכל שק יחד, תדעו שיש מזויף - אבל לא תדעו מאיזה שק הוא בא. כל המטבעות נראים זהים אחרי שהוצאו.

המחשבה הנכונה: תנו לכל שק "חתימה" משלו בתוך השקילה היחידה. איך? על ידי מספר המטבעות שתוציאו ממנו.

רמז עבה

סמנו את השקים במספרים 1 עד 10. הוציאו מטבע אחד מהשק הראשון, שני מטבעות מהשני, שלושה מהשלישי, וכן הלאה - עד עשרה מטבעות מהשק העשירי.

בסך הכול תאספו 1+2+3+...+10 מטבעות. שקלו את כולם יחד בשקילה אחת.

עכשיו שאלו: אם השק המזויף הוא מספר k, בכמה גרמים תיפול התוצאה מן המשקל הצפוי?

פתרון

מסמנים את השקים 1 עד 10, ומוציאים מכל שק מספר מטבעות ששווה למספרו: מטבע אחד מהשק הראשון, שניים מהשני, ועד עשרה מהעשירי.

סך המטבעות שנאספו הוא 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, כלומר 55 מטבעות.

אם כל המטבעות היו תקינים, המשקל היה 55 כפול 10, כלומר 550 גרם.

עכשיו נניח שהשק המזויף הוא שק מספר k. פירוש הדבר שבתוך הערימה יש בדיוק k מטבעות מזויפים, וכל אחד מהם קל בגרם אחד. לכן המשקל שיוצג יהיה 550 פחות k גרם.

ההפרש בגרמים בין 550 לתוצאה שהתקבלה הוא בדיוק מספרו של השק המזויף.

דוגמאות: אם המשקל 547 גרם - חסרים 3 גרם, והשק המזויף הוא מספר 3. אם המשקל 543 גרם - חסרים 7 גרם, והשק הוא מספר 7. אם המשקל 540 גרם - חסרים 10 גרם, והשק העשירי הוא האשם.

שימו לב שהשיטה עובדת מפני שכל שק תורם לתוצאה כמות חסר שונה ויחידה, ולכן מן התוצאה אפשר לשחזר מי היה האשם - זהו רעיון של קידוד מידע בתוך מספר בודד.

הערה נאה: אותה שיטה עצמה מאפשרת לזהות אפילו מיליון שקים בשקילה אחת, כל עוד המשקל מדויק דיו. גם לא חייבים לשקול מן השק העשירי בכלל: אם כל תשעת ההפרשים הראשונים יצאו אפס, ברור שהמזויף הוא השק שלא נבדק.