צילום: Xzpq, Wikimedia Commons (CC0)

נפגשתם עם שכן חדש במעלית. בשיחת נימוסין קצרה הוא מזכיר שיש לו שני ילדים, ומוסיף משפט אחד: "אחד מהם בן".

מה ההסתברות ששני הילדים שלו הם בנים?

התשובה האינטואיטיבית היא חצי. הרי הילד השני הוא או בן או בת, ואין שום סיבה להעדיף אחד מהם. התשובה הזאת שגויה.

ועכשיו לחלק שהופך את זה לחידה אמיתית. דמיינו שהשכן היה אומר משפט אחר במקצת: "הילד הבכור שלי הוא בן". גם כאן, מה ההסתברות ששניהם בנים?

כאן התשובה כן היא חצי.

השאלה: למה שני המשפטים - שנשמעים כמעט זהים - מובילים לשתי תשובות שונות?

(הניחו לצורך החידה שלכל לידה סיכוי שווה לבן ולבת, ושאין תאומים.)

רמז דק

אל תשאלו "מה הילד השני". רשמו קודם את כל האפשרויות לשני ילדים לפי סדר הלידה - ורק אז מחקו.

רמז עבה

יש ארבע אפשרויות שוות סיכוי: בן-בן, בן-בת, בת-בן, בת-בת. עכשיו שאלו את עצמכם על כל אחד משני המשפטים בנפרד: כמה מהאפשרויות הוא פוסל? המשפט הראשון מצביע על קיומו של בן כלשהו במשפחה. המשפט השני מצביע על ילד מסוים ומספר לכם מה הוא. זה בדיוק ההבדל.

פתרון

ארבע האפשרויות, לפי סדר לידה, כל אחת בהסתברות רבע:

בן-בן  |  בן-בת  |  בת-בן  |  בת-בת

המשפט הראשון: "אחד מהם בן"

המשפט פוסל אפשרות אחת בלבד - בת-בת. נותרו שלוש אפשרויות, וכולן עדיין שוות סיכוי ביניהן: בן-בן, בן-בת, בת-בן.

רק באחת מהשלוש שני הילדים בנים. לכן ההסתברות היא שליש, לא חצי.

המשפט השני: "הבכור הוא בן"

כאן נפסלות שתי אפשרויות - בת-בן ובת-בת. נותרו שתיים: בן-בן ובן-בת. באחת מהשתיים שניהם בנים, ולכן ההסתברות היא חצי.

למה ההבדל

המילה "אחד" אינה מצביעה על ילד מסוים. היא רק אומרת שברשימה קיים לפחות בן אחד. לכן היא מותירה בחיים גם את המקרה שבו הבן הוא הצעיר וגם את זה שבו הוא הבכור - שני מקרים נפרדים ושונים, שיחד שוקלים פי שניים מהמקרה שבו שניהם בנים.

לעומת זאת "הבכור הוא בן" נועל משבצת אחת מתוך השתיים, ומשאיר את המשבצת השנייה חופשית לגמרי. ומשבצת חופשית אחת היא בדיוק חצי-חצי.

במילים אחרות: המידע שקיבלנו אינו רק "יש בן". המידע הוא איך נודע לנו על הבן. אותה עובדה עצמה, כשהיא מגיעה בשתי דרכים שונות, מספרת שני סיפורים שונים.

וגרסה שמטריפה אפילו מתמטיקאים

נניח שהשכן היה אומר: "אחד מהם בן שנולד ביום שלישי". עכשיו ההסתברות ששניהם בנים קופצת ל-13 חלקי 27 - כמעט חצי.

נשמע מופרך שיום בשבוע ישנה הסתברות, אבל ההיגיון זהה: ככל שהתיאור מצמצם יותר ומצביע בחדות רבה יותר על ילד מסוים, כך הוא מתקרב לנוסח "הבכור הוא בן" - והתשובה מטפסת משליש לעבר חצי. יום השבוע אינו משנה דבר בביולוגיה; הוא משנה את הדרך שבה המידע הגיע אלינו.

החידה הזאת נקראת פרדוקס הבן או הבת, והיא מופיעה לראשונה במדור המתמטי של מרטין גרדנר ב-1959. גרדנר עצמו הודה מאוחר יותר שהניסוח המקורי שלו היה עמום - וזה בדיוק הלקח: בהסתברות, הניסוח הוא לא קישוט. הוא הנתון.