על השולחן מונחות 100 גולות: 50 לבנות ו-50 שחורות. לצידן שני כדים אטומים וריקים, שלא ניתן לראות דרכם.

עליכם לחלק את כל 100 הגולות בין שני הכדים כרצונכם - ובלבד שלא תישאר גולה בחוץ, ושאף כד לא יישאר ריק.

אחר כך ייכנס לחדר אדם מכוסה עיניים. הוא יבחר באקראי אחד משני הכדים - חצי-חצי, בלי קשר לכמה גולות יש בכל אחד - ויוציא ממנו גולה אחת באקראי. אם הגולה לבנה, זכיתם.

כיצד תחלקו את הגולות כדי למקסם את הסיכוי לגולה לבנה, ומהו הסיכוי הזה?

החלוקה המתבקשת - 25 לבנות ו-25 שחורות בכל כד - נותנת בדיוק 50%. אפשר להשיג הרבה יותר.

רמז דק

שימו לב לפרט המכריע: הבחירה בין הכדים היא חצי-חצי תמיד. כד שיש בו גולה אחת בלבד נבחר באותה הסתברות כמו כד שיש בו 99 גולות.

מה קורה אם באחד הכדים תשימו רק גולות לבנות?

רמז עבה

נסו לבנות כד אחד שהוא "הימור בטוח" - כלומר כל מה שבתוכו לבן - ולדחוס אליו כמה שפחות גולות, כדי שיישארו כמה שיותר לבנות בכד השני.

אם בכד ה"בטוח" תשימו גולה לבנה אחת בלבד, מה בדיוק יישאר בכד השני, ומהי ההסתברות לשלוף ממנו לבנה?

ההסתברות הכוללת היא ממוצע פשוט של השניים: חצי מההסתברות בכד הראשון ועוד חצי מההסתברות בכד השני.

פתרון

שימו גולה לבנה אחת בלבד בכד הראשון, ואת כל 99 הגולות הנותרות - 49 לבנות ו-50 שחורות - בכד השני.

החישוב:

ההסתברות לבחור בכד הראשון ולשלוף ממנו לבנה: חצי כפול 1, כלומר 1/2.

ההסתברות לבחור בכד השני ולשלוף ממנו לבנה: חצי כפול 49/99, כלומר 49/198.

סך הכול: 99/198 + 49/198 = 148/198 = 74/99.

הסיכוי לגולה לבנה הוא כ-74.75% - כמעט שלושה רבעים, לעומת 50% בחלוקה השווה.

ולמה זו החלוקה הטובה ביותר? כד שכולו לבן תורם את המקסימום המוחלט: הסתברות 1, ואי אפשר לשפר אותו יותר. כל גולה לבנה נוספת שנכניס אליו לא תעלה אותו כהוא זה - הוא כבר בשיא - אבל כן תוריד את שיעור הלבנות בכד השני. לכן משתלם לדלל את הכד ה"בטוח" עד לגולה בודדת, ולהשאיר את כל שאר הלבנות בצד השני.

וגם מהצד השני של המשוואה: את הגולות השחורות אין טעם לפזר. אם נכניס ולו שחורה אחת לכד ה"בטוח", הוא יפסיק להיות בטוח - וההפסד גדול מהרווח.

הנקודה היפה בחידה: הכד הקטן מחזיק אחוז אחד בלבד מהגולות, ובכל זאת הוא אחראי לבדו למחצית מהסיכוי לזכות. כשהבחירה בין הקבוצות אינה תלויה בגודלן, קבוצה קטנטנה יכולה לשאת משקל עצום.