ספירה קצרה מגלה עד כמה המשימה צפופה. לכל שקילה שלוש תוצאות אפשריות, ולכן שלוש שקילות מייצרות לכל היותר 3 · 3 · 3 = 27 תסריטים שונים.

מספר התשובות שצריך להבדיל ביניהן הוא 12 כדורים כפול 2 מצבים (כבד או קל) = 24.

24 קטן מ-27 - אז יש מקום, אבל צר מאוד. המסקנה: כל שקילה חייבת לחלק את האפשרויות שנותרו לשלוש קבוצות שוות בערך. שקילה אחת מבוזבזת, וכבר לא תספיקו.

התחילו בארבעה כדורים מול ארבעה, והשאירו ארבעה בצד.

אם המאזניים התאזנו - החריג נמצא בין ארבעת הכדורים שבצד, וכל שמונת הכדורים ששקלתם ידועים כתקינים. נותרו לכם שתי שקילות לארבעה חשודים - וזה מספיק, בתנאי שתשתמשו בכדורים התקינים כמשקולת עזר.

אם המאזניים לא התאזנו - קיבלתם ארבעה חשודים בכבדות (הצד שירד) וארבעה חשודים בקלות (הצד שעלה).

וכאן הטריק המרכזי: בשקילה השנייה אל תשקלו קבוצה מול קבוצה. ערבבו - העבירו חלק מהחשודים מצד לצד, והוסיפו כדורים שכבר ידוע שהם תקינים.

נמספר את הכדורים 1 עד 12.

שקילה ראשונה: 1, 2, 3, 4 מול 5, 6, 7, 8.

מקרה א - שוויון.

החריג נמצא בין 9, 10, 11, 12, וכדורים 1 עד 8 ידועים כתקינים.

שקילה שנייה: 9, 10, 11 מול 1, 2, 3 (התקינים).

אם התאזנו - החריג הוא 12. שקילה שלישית: 12 מול 1, והתוצאה מגלה מיד אם הוא כבד או קל.

אם 9, 10, 11 ירדו - אחד מהם כבד. שקילה שלישית: 9 מול 10. הכבד מביניהם הוא החריג; ואם התאזנו - 11 הוא החריג, והוא כבד.

אם 9, 10, 11 עלו - אותו הדבר בדיוק, רק שהחריג קל: שוקלים 9 מול 10, והקל מביניהם הוא החריג; ואם התאזנו - 11 קל.

מקרה ב - הצד של 1, 2, 3, 4 ירד.

המשמעות: או שאחד מ-1, 2, 3, 4 כבד, או שאחד מ-5, 6, 7, 8 קל. כדורים 9 עד 12 ידועים כתקינים.

שקילה שנייה: 1, 2, 5 מול 3, 4, 6.

אם התאזנו - הכדורים 1 עד 6 כולם תקינים, ונשארו 7 ו-8 כחשודים בקלות. שקילה שלישית: 7 מול 8 - הקל מביניהם הוא החריג.

אם 1, 2, 5 ירדו - האפשרויות שנותרו הן: 1 כבד, 2 כבד, או 6 קל. שקילה שלישית: 1 מול 2. אם אחד מהם ירד - הוא החריג הכבד; ואם התאזנו - 6 הוא החריג, והוא קל.

אם 3, 4, 6 ירדו - באופן סימטרי: 3 כבד, 4 כבד, או 5 קל. שקילה שלישית: 3 מול 4. אם אחד ירד - הוא הכבד; ואם התאזנו - 5 קל.

מקרה ג - הצד של 5, 6, 7, 8 ירד.

זהו מקרה ב במראה. החליפו בין תפקידי שתי הרביעיות והמשיכו בדיוק באותה שיטה.

למה זה עובד?

השקילה הראשונה מחלקת את 24 האפשרויות לשלוש קבוצות של 8 (במקרה השוויון: 4 כדורים כפול 2 מצבים; בכל אחד מהמקרים האחרים: 4 חשודים בכבדות ו-4 בקלות).

השקילה השנייה מחלקת כל שמינייה לשלוש קבוצות של 3 לכל היותר, והשקילה השלישית מבדילה בין שלוש אפשרויות. 24 = 3 כפול 8, 8 מתחלק ל-3+3+2 - והכול נסגר בדיוק בגבול.