צילום: Michael Phillips, Wikimedia Commons (CC BY 2.0)

על אי מבודד חיים מאה תושבים כחולי עיניים ומאה תושבים חומי עיניים. כולם לוגיקנים מושלמים: כל מסקנה שאפשר להסיק, הם יסיקו מיד.

באי נוהג חוק עתיק אחד: מי שיודע בוודאות מה צבע עיניו שלו, חייב לעזוב באותו לילה במעבורת של חצות.

אין באי מראות, אין משטחי מים משקפים, ואסור בתכלית האיסור לומר לאדם אחר מה צבע עיניו. כל תושב רואה היטב את עיניהם של 199 האחרים - ורק את שלו אינו יכול לראות.

שנים רבות לא קרה דבר. עד שיום אחד הגיע לאי מבקר מבחוץ, נאם באוזני כל התושבים יחד, וסיים במשפט תמים לכאורה:

"נעים לי לראות שיש כאן לפחות אדם אחד עם עיניים כחולות."

לכאורה לא אמר דבר. כל אחד מהתושבים כבר ראה במו עיניו עשרות אנשים כחולי עיניים.

ובכל זאת - מה יקרה באי מאותו רגע, ובאיזה לילה בדיוק?

רמז דק

אל תתחילו ממאה. התחילו מאי שבו יש כחול עיניים אחד בלבד, ואז משניים, ואז משלושה.

שאלו את עצמכם בכל מקרה: מה כל אחד מהם רואה, ומה הוא מצפה שיקרה בלילה הראשון.

רמז עבה

המשפט של המבקר באמת לא הוסיף לאיש מידע חדש על מה שהוא רואה. אבל הוא הוסיף משהו אחר לגמרי: מעכשיו כולם יודעים שכולם יודעים שכולם יודעים - עד אינסוף - שיש לפחות כחול עיניים אחד.

הידיעה הזאת נקראת ידיעה משותפת, והיא בדיוק מה שחסר כדי להתחיל את שרשרת ההיסקים.

המפתח הוא לילה שבו לא קורה כלום. חוסר המעשה הוא עצמו מידע.

פתרון

בלילה המאה יעזבו כל מאת כחולי העיניים יחד. עד אז לא יעזוב איש.

הוכחה באינדוקציה

מקרה של אחד: אילו היה באי כחול עיניים יחיד, הוא היה מסתכל סביבו, רואה חומי עיניים בלבד, ומבין מיד שהמבקר התכוון אליו. הוא היה עוזב בלילה הראשון.

מקרה של שניים: כל אחד מהשניים רואה כחול עיניים אחד. הוא אומר לעצמו: אם אני אינני כחול עיניים, הרי שהאיש שאני רואה הוא היחיד, והוא יעזוב הלילה. הלילה הראשון חולף ואיש אינו עוזב - ומכאן הוא מסיק שגם הוא כחול עיניים. שניהם מגיעים לאותה מסקנה בו זמנית, ושניהם עוזבים בלילה השני.

מקרה של שלושה: כל אחד רואה שניים. אם אני חום עיניים - השניים שאני רואה יעזבו בלילה השני, לפי המקרה הקודם. הלילה השני חולף בשקט, ולכן שלושתם עוזבים בלילה השלישי.

הכלל: אם יש באי n כחולי עיניים, כולם יעזבו יחד בלילה ה־n, ואף אחד לא לפניו. לכן במקרה שלנו - הלילה המאה.

מה בעצם עשה המבקר

זה החלק היפה בחידה. כל תושב ראה 99 או 100 כחולי עיניים, אז המשפט "יש כאן לפחות אחד" לא חידש לו דבר ברמה הראשונה.

אבל שרשרת ההיסקים אינה מסתמכת על הרמה הראשונה אלא על רמות עמוקות בהרבה: אני יודע שאתה יודע שהוא יודע... ההצהרה הפומבית היא שהופכת את העובדה לידיעה משותפת של כל הרמות בבת אחת, ורק אז אפשר לספור לילות.

ומה עם חומי העיניים? הם לעולם לא ילמדו דבר על עצמם. הם רואים 100 כחולי עיניים, ההיגיון שלהם עוצר בדיוק שם, והם נשארים על האי.