צילום: The Metropolitan Museum of Art, Wikimedia Commons (CC0)

לפניכם שתים עשרה כדוריות מתכת. הן נראות זהות לחלוטין, ואחת עשרה מהן באמת שוקלות בדיוק אותו דבר.

אחת - רק אחת - חורגת. אתם לא יודעים אם היא כבדה יותר או קלה יותר. אתם רק יודעים שהיא שונה.

בידכם מאזני כפות פשוטים: שתי כפות, בלי משקולות ובלי מספרים. כל שקילה מספרת לכם דבר אחד בלבד - איזו כף ירדה, או ששתיהן נשארו מאוזנות.

מותר לכם לבצע שלוש שקילות בלבד.

השאלה: איך מזהים בוודאות את הכדורית החריגה - וגם קובעים אם היא הכבדה או הקלה - בשלוש שקילות?

רמז דק

לפני שאתם מנסים, ספרו.

לכל שקילה יש שלוש תוצאות אפשריות, ולכן שלוש שקילות מייצרות לכל היותר 3 × 3 × 3 = 27 תסריטים שונים.

כמה תשובות אפשריות יש? שתים עשרה כדוריות, וכל אחת יכולה להיות כבדה או קלה: 24 תשובות.

24 קטן מ-27 - כלומר מספרית זה אפשרי, אבל רק בקושי. המסקנה החשובה: אסור לבזבז אפילו שקילה אחת. כל שקילה חייבת לחלק את האפשרויות לשלושה חלקים דומים בגודלם.

רמז עבה

אל תשקלו שש מול שש. שקילה כזאת תמיד תיטה לצד אחד ותשאיר אתכם עם שתים עשרה אפשרויות - יותר מדי לשתי שקילות שנותרו.

התחילו בארבע מול ארבע, וארבע בצד.

אם המאזניים מאוזנים - החריגה בין הארבע שבצד, ויש לכם שתי שקילות לשמונה אפשרויות. קל.

ואם המאזניים נטו - כאן הטריק שכולם מפספסים: בשקילה השנייה אסור להשאיר את הקבוצות שלמות. צריך להחליף כדוריות בין הכפות ולהכניס כדוריות שכבר ידוע שהן תקינות.

פתרון

נסמן את הכדוריות 1 עד 12.

שקילה ראשונה: 1,2,3,4 מול 5,6,7,8

מקרה א - מאוזן. כל שמונה הכדוריות תקינות, והחריגה היא 9, 10, 11 או 12.

שקילה שנייה: 9,10,11 מול 1,2,3 (שלוש כדוריות שידוע שהן תקינות).

אם מאוזן - החריגה היא 12. שקילה שלישית: 12 מול 1, וההטיה מגלה אם היא כבדה או קלה.

אם צד 9,10,11 ירד - אחת מהן כבדה. שקילה שלישית: 9 מול 10. הכבדה מביניהן היא התשובה, ואם הן מאוזנות - זו 11.

אם צד 9,10,11 עלה - אותו דבר בדיוק, רק שמחפשים את הקלה.

מקרה ב - הצד 1,2,3,4 ירד. כלומר או שאחת מ-1,2,3,4 כבדה, או שאחת מ-5,6,7,8 קלה. הכדוריות 9 עד 12 תקינות בוודאות.

שקילה שנייה: 1,2,5 מול 3,4,6 - שימו לב שהעברנו את 5 ואת 6 לצדדים ההפוכים.

אם מאוזן: כל שש הכדוריות שעל המאזניים תקינות, ולכן החריגה היא 7 או 8, והיא בהכרח קלה. שקילה שלישית: 7 מול 8, והקלה מביניהן היא התשובה.

אם צד 1,2,5 ירד: הסיבות האפשריות היחידות הן ש-1 כבדה, ש-2 כבדה, או ש-6 קלה. שקילה שלישית: 1 מול 2. הכבדה היא התשובה, ואם הן מאוזנות - 6 היא הקלה.

אם צד 3,4,6 ירד: באותו אופן, או ש-3 כבדה, או ש-4 כבדה, או ש-5 קלה. שקילה שלישית: 3 מול 4, ואם מאוזן - 5 היא הקלה.

מקרה ג - הצד 5,6,7,8 ירד. זהו בדיוק מקרה ב' במראה: החליפו את התפקידים של שתי הרביעיות ובצעו את אותה סדרת שקילות.

מה באמת קורה כאן

הפתרון עובד מפני שכל שקילה מנוצלת עד תום. אחרי השקילה הראשונה נותרות שמונה אפשרויות במקרה הטוב ושמונה במקרה הרע - ולא שתים עשרה. אחרי השנייה נותרות שתיים או שלוש, וזה בדיוק מה ששקילה אחת יודעת להכריע.

מסיבה זו אי אפשר לפתור את החידה עם שלוש עשרה כדוריות בשלוש שקילות, אם דורשים לדעת גם אם היא כבדה או קלה: 26 אפשרויות עדיין קטן מ-27, אבל אין דרך לחלק אותן לשלישיות מאוזנות. ואם מרשים לכם כדורית עזר אחת שידוע שהיא תקינה - שלוש עשרה פתאום כן עובד.