לפניכם לוח שחמט רגיל: 8 על 8, כלומר 64 משבצות, צבועות לסירוגין בשחור ובלבן.

גזרו מהלוח שתי משבצות פינתיות הנמצאות באלכסון זו מול זו — הפינה השמאלית העליונה והפינה הימנית התחתונה. נותרו 62 משבצות.

ברשותכם 31 אבני דומינו, שכל אחת מהן מכסה בדיוק שתי משבצות צמודות — לרוחב או לאורך, אך לעולם לא באלכסון. 31 אבנים כפול 2 שוות בדיוק 62 משבצות, כך שמבחינת הספירה הכול מסתדר.

האם אפשר לכסות את הלוח הקטוע במלואו, בלי חפיפות ובלי חריגה מהלוח? אל תסתפקו בניסיונות — הוכיחו את תשובתכם.

רמז דק

אל תנסו לסדר את האבנים. נסו במקום זאת לספור: איזה צבע מכסה כל אבן דומינו שאתם מניחים?

רמז עבה

על לוח שחמט כל שתי משבצות צמודות הן בהכרח בצבעים שונים, ולכן כל אבן דומינו — בכל מקום ובכל כיוון שתניחו אותה — מכסה בדיוק משבצת לבנה אחת ומשבצת שחורה אחת. עכשיו בדקו מה צבען של שתי הפינות שהסרתם.

פתרון

לא. הכיסוי בלתי אפשרי, ואפשר להוכיח זאת בשורה אחת.

שתי פינות הנמצאות באלכסון זו מול זו הן תמיד בעלות אותו צבע — נניח ששתיהן לבנות. לאחר הסרתן נותרו על הלוח 30 משבצות לבנות ו-32 משבצות שחורות.

מנגד, כל אבן דומינו מכסה בדיוק משבצת אחת מכל צבע, ולכן 31 אבנים מכסות תמיד 31 משבצות לבנות ו-31 שחורות. מכיוון ש-30 אינו שווה ל-31, שום סידור של האבנים לא יוכל להצליח — ולא משנה כמה זמן תנסו.

זו דוגמה יפה במיוחד לעוצמתו של טיעון צביעה: שאלה שנראית כמו חידת סבלנות אינסופית מוכרעת סופית במשפט אחד, בלי לבדוק אפילו סידור אחד. אגב, אם מסירים שתי משבצות בצבעים שונים, הכיסוי דווקא אפשרי תמיד.