כולם יודעים שהקו הישר הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות. הבעיה מתחילה כשאסור לעבור בקו ישר - וצריך ללכת על פני שטח מקופל.

לפנינו תיבה מלבנית (קופסה) שמידותיה: אורך 12 ס"מ, גובה 4 ס"מ ורוחב 3 ס"מ.

נמלה עומדת באחת הפינות של הקופסה ורוצה להגיע אל הפינה הרחוקה ביותר ממנה - הפינה הנגדית באלכסון המרחבי. הנמלה יכולה ללכת רק על פני השטח החיצוניים של הקופסה: היא אינה יכולה לעוף, ואינה יכולה לחצות את פנים התיבה.

מהו אורכו של המסלול הקצר ביותר?

רמז דק

קו ישר הוא אכן המסלול הקצר ביותר - אבל רק במישור. נסו לפרוש את הקופסה: לחתוך אותה לאורך מקצועות ולשטח את הפאות למישור אחד. מה קורה למסלול של הנמלה בפרישה כזאת?

רמז עבה

המסלול הקצר עובר על שתי פאות סמוכות. יש שלוש דרכים שונות לפרוש את התיבה כך, ובכל אחת מהן המסלול הישר הוא היתר של משולש ישר-זווית: ניצב אחד הוא צלע אחת של התיבה, והניצב השני הוא סכום שתי הצלעות הנותרות. חשבו את שלושת האורכים והשוו ביניהם - הם אינם שווים.

פתרון

המסלול הקצר ביותר הוא שורש 193, כלומר כ-13.89 ס"מ.

כשפורשים את הקופסה למישור, המסלול על פני שתי פאות הופך לקו ישר, והוא היתר במשולש ישר-זווית. שלוש הפרישות האפשריות נותנות שלושה משולשים שונים:

אפשרות א: ניצבים באורך (12+3)=15 ו-4, ולכן היתר הוא שורש של 225+16=241, כלומר כ-15.52 ס"מ.

אפשרות ב: ניצבים באורך (12+4)=16 ו-3, ולכן היתר הוא שורש של 256+9=265, כלומר כ-16.28 ס"מ.

אפשרות ג: ניצבים באורך 12 ו-(4+3)=7, ולכן היתר הוא שורש של 144+49=193, כלומר כ-13.89 ס"מ.

האפשרות השלישית היא הקצרה ביותר - ולכן זהו המסלול שהנמלה צריכה לבחור. שימו לב שהוא זה שמאחד את שתי הצלעות הקטנות יחד, ולא את הצלע הארוכה עם אחת מהן.

ולסיום, נקודה יפה: האלכסון הישר דרך פנים התיבה אורכו שורש של 144+16+9=169, כלומר 13 ס"מ בדיוק - קצר יותר מכל מסלול על פני השטח. אבל הנמלה, בניגוד לזבוב, פשוט אינה יכולה לעבור שם.