התחילו דווקא מהשאלה השנייה, והיא הרבה יותר קלה ממה שהיא נראית.

כל צלע של מצולע החתך נוצרת במקום שבו המישור פוגש פאה של הקובייה. שאלו את עצמכם כמה פעמים מישור אחד יכול לחתוך פאה שטוחה אחת.

לשאלה הראשונה, אל תחפשו את החתך באקראי - חפשו אותו לפי הסימטריה.

לקובייה יש אלכסון ראשי, הקו המחבר שתי פינות נגדיות דרך המרכז. סובבו את הקובייה סביב האלכסון הזה ב־120 מעלות והיא תיראה בדיוק כמו קודם.

עכשיו העבירו מישור ניצב לאלכסון הזה, בדיוק דרך מרכז הקובייה, ובדקו באילו נקודות הוא פוגש את שלד הקובייה. רמז: הוא לא עובר באף פינה.

כן - מתקבל משושה משוכלל, ושש צלעות הן גם המקסימום האפשרי.

המקסימום: שש צלעות

לקובייה יש שש פאות. מישור אחד חותך פאה שטוחה לכל היותר לאורך קטע ישר יחיד, כי החיתוך של שני מישורים הוא תמיד קו ישר אחד.

לכן למצולע החתך יש לכל היותר שש צלעות - צלע אחת לכל פאה. שבע צלעות היו מחייבות פאה שביעית שאיננה קיימת.

הבנייה: המשושה המשוכלל

נניח שאורך מקצוע הקובייה הוא 1, ונציב אותה כך שפינותיה הן כל השלשות של אפסים ואחדים. האלכסון הראשי מחבר את הפינה (0,0,0) עם הפינה (1,1,1).

המישור הניצב לאלכסון הזה והעובר דרך המרכז הוא המישור שכל נקודותיו מקיימות: x ועוד y ועוד z שווה 1.5.

המישור הזה אינו עובר באף פינה של הקובייה, אבל הוא עובר בדיוק דרך אמצעי שישה מקצועות. למשל הנקודה (0.5, 1, 0) - סכום הקואורדינטות שלה הוא אכן 1.5 - וכך גם (1, 0.5, 0), (1, 0, 0.5), (0.5, 0, 1), (0, 0.5, 1) ו־(0, 1, 0.5).

שש הנקודות האלה הן קודקודי המצולע. המרחק בין שתי נקודות שכנות, למשל (0.5, 1, 0) ו־(1, 0.5, 0), הוא השורש של 0.25 ועוד 0.25 - כלומר 1 חלקי שורש 2, בערך 0.707. אותו מרחק בדיוק חוזר בין כל שתי שכנות.

הצלעות שוות, וגם הזוויות - כי הסיבוב ב־120 מעלות סביב האלכסון מחזיר את המצולע לעצמו, ובנוסף החלפת שתי הפינות הקצה הופכת אותו. יחד מתקבלת סימטריה בת שישה איברים, ומצולע בן שש צלעות בעל סימטריה כזאת חייב להיות משוכלל.

מה עוד אפשר לקבל

בחתך ישר יחיד בקובייה אפשר לקבל משולש, מרובע, מחומש ומשושה - וזהו. מעניין במיוחד: אי אפשר לקבל מחומש משוכלל ואי אפשר לקבל מרובע שהוא מעוין שאינו ריבוע בכל מצב. משולש שווה צלעות ומשושה משוכלל דווקא כן אפשריים, ושניהם נובעים מאותה סימטריה של האלכסון הראשי.

אם תסובבו קובייה שקופה מול מנורה ותביטו בצל שלה, תגלו את אותו הדבר בדיוק: כשמסתכלים על הקובייה היישר לאורך האלכסון הראשי, המתאר שלה הוא משושה משוכלל מושלם.