צילום: VSchagow, Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)

קחו כדור מלא - עשוי עץ, מתכת, מה שתרצו - וקדחו דרכו חור גלילי ישר, בדיוק דרך המרכז.

מה שנשאר בידיכם הוא טבעת: גוף שנראה בדיוק כמו טבעת מפית, עגול מבחוץ, חלול במרכז, ושטוח בשני קצותיו.

נניח שגובהה של הטבעת שנותרה - כלומר אורך החור שנקדח - הוא שישה סנטימטרים בדיוק.

השאלה: מה נפחה של הטבעת?

ולפני שאתם מתלוננים - כן, אתם צודקים: לא אמרנו לכם מה היה רדיוס הכדור המקורי, ולא מה עוביו של המקדח. זה נראה כמו נתון חסר.

אבל השאלה נשאלת בכל זאת, וזה הרמז הראשון.

רמז דק

אם השאלה נשאלת ברצינות למרות שחסרים לכאורה נתונים, יש רק הסבר אחד אפשרי: הנתונים החסרים אינם משפיעים על התשובה.

אז נצלו את זה. בחרו את המקרה הקיצוני והנוח ביותר שעדיין מקיים את התנאי - טבעת בגובה שישה סנטימטרים.

מה קורה כשהחור צר עד אינסוף, כמעט לא קיים?

רמז עבה

אם החור צר ביותר, הכדור כמעט לא נפגע - והטבעת היא כמעט הכדור השלם. כדי שגובהה יהיה שישה, רדיוס הכדור חייב להיות שלושה.

הנפח במקרה הזה הוא נפח הכדור: ארבע שלישים פאי כפול 27, כלומר 36 פאי.

אבל ניחוש מהקצה אינו הוכחה. כדי להיות בטוחים, הסתכלו על חתכי הרוחב של הטבעת: בכל גובה, החתך הוא טבעת שטוחה בין שני מעגלים. חשבו את שטחה - ובדקו אם רדיוס הכדור בכלל שורד בתוצאה.

פתרון

הנפח הוא 36 פאי, כלומר כ-113.1 סנטימטרים מעוקבים - ואינו תלוי כלל בגודל הכדור המקורי.

ההוכחה

נסמן ב-R את רדיוס הכדור וב-r את רדיוס החור, ונציב את מרכז הכדור בראשית. גובה הטבעת הוא h, ולכן היא משתרעת מ-h חלקי 2 מתחת למרכז ועד h חלקי 2 מעליו.

שלושת הגדלים קשורים במשפט פיתגורס: R בריבוע = r בריבוע ועוד (h חלקי 2) בריבוע.

עכשיו נחתוך את הטבעת במישור אופקי בגובה y. החתך הוא טבעת שטוחה: העיגול החיצוני הוא חתך הכדור, שרדיוסו בריבוע הוא R בריבוע פחות y בריבוע. העיגול הפנימי הוא חתך הגליל, שרדיוסו r.

שטח החתך הוא ההפרש:

פאי כפול (R בריבוע פחות y בריבוע) פחות פאי כפול r בריבוע

נסדר מחדש, ונשתמש בקשר מפיתגורס:

פאי כפול ((R בריבוע פחות r בריבוע) פחות y בריבוע) = פאי כפול ((h חלקי 2) בריבוע פחות y בריבוע)

והנה הקסם: R ו-r נעלמו שניהם. שטח החתך תלוי אך ורק בגובה הטבעת.

יתרה מזו, הביטוי שקיבלנו הוא בדיוק שטח החתך של כדור מלא שרדיוסו h חלקי 2 באותו גובה. לפי עקרון קוואליירי, שני גופים שכל חתכי הרוחב שלהם שווים בשטחם - שווים גם בנפחם.

לכן נפח הטבעת שווה לנפח כדור שרדיוסו h חלקי 2:

V = ארבע שלישים פאי כפול (h חלקי 2) בשלישית = פאי כפול h בשלישית, חלקי 6

עבור h שווה 6 מתקבל: פאי כפול 216 חלקי 6, כלומר 36 פאי.

מה זה אומר בפועל

קחו כדור בגודל תפוז וקדחו בו חור צר, כך שתישאר טבעת בגובה שישה סנטימטרים. עכשיו קחו כדור בגודל כדור הארץ, וקדחו בו חור ענק ברוחב כמעט של כל כדור הארץ, כך שגם כאן תישאר טבעת דקיקה בגובה שישה סנטימטרים.

לשתי הטבעות יש בדיוק אותו נפח. הטבעת של כדור הארץ תהיה ארוכה מאין כמותה אך דקה להפליא, והטבעת של התפוז תהיה קצרה ועבה - וכמות החומר בשתיהן זהה.

הלקח

החידה הזאת, המכונה בעיית טבעת המפית, מלמדת לזהות מתי "נתון חסר" הוא בעצם רמז. כאשר בעיה מנוסחת היטב אך חסר בה פרט, לרוב הפרט הזה פשוט אינו רלוונטי - ושווה לבדוק את המקרה הקיצוני לפני שמתחילים לחשב.