צילום: Pavlikhin, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

קזינו מציע לכם משחק פשוט. מטילים מטבע הוגן שוב ושוב, עד שנופל בפעם הראשונה "עץ". באותו רגע המשחק נעצר ואתם מקבלים פרס.

גובה הפרס נקבע כך: אם "עץ" נפל כבר בהטלה הראשונה - תקבלו 2 שקלים. אם בשנייה - 4 שקלים. בשלישית - 8. ברביעית - 16, וכן הלאה. כל הטלה נוספת מכפילה את הפרס.

המשחק אינו חינם. עליכם לשלם דמי כניסה מראש, וברגע ששילמתם אין דרך חזרה.

השאלה: כמה תהיו מוכנים לשלם כדי להשתתף - ולמה החישוב המתמטי נותן כאן תשובה שאף אדם שפוי אינו מוכן לקבל?

רמז דק

חשבו על התוחלת. ההסתברות לזכות ב-2 היא חצי, ההסתברות לזכות ב-4 היא רבע, ההסתברות לזכות ב-8 היא שמינית. הכפילו כל סכום בהסתברות שלו וחברו.

רמז עבה

כל אחד מהמחוברים בסדרה שווה בדיוק 1: חצי כפול 2, רבע כפול 4, שמינית כפול 8. הסדרה אינסופית, ולכן הסכום הוא 1 ועוד 1 ועוד 1 בלי סוף. השאלה האמיתית איננה מהי התוחלת, אלא למה התוחלת היא המדד הלא נכון כאן.

פתרון

התוחלת המתמטית של המשחק אינסופית - ובכל זאת כמעט אף אחד לא ישלם עליו יותר מכמה עשרות שקלים.

החישוב פשוט. ההסתברות שהמשחק יסתיים בהטלה מספר n היא 1 חלקי 2 בחזקת n, והפרס במקרה כזה הוא 2 בחזקת n. המכפלה של השניים היא בדיוק 1, וזה נכון לכל n. סכום התוחלת הוא אפוא סכום אינסופי של אחדים - כלומר אינסוף.

לפי כלל ההחלטה הנאיבי - "שלם כל סכום שקטן מהתוחלת" - היה עליכם למכור את הבית ולשלם. הפרדוקס הוא בדיוק הפער העצום בין המסקנה הזאת לבין ההתנהגות של כל אדם אמיתי.

הפתרון של דניאל ברנולי

את הבעיה ניסח ניקולאוס ברנולי במכתב בשנת 1713, ואת הפתרון המפורסם פרסם בן דודו דניאל ברנולי בשנת 1738, בכתב העת של האקדמיה הקיסרית למדעים בסנט פטרסבורג - ומשם השם שדבק בפרדוקס.

הטענה שלו: אנשים אינם ממקסמים כסף אלא תועלת. השקל המיליון אינו שווה לאדם כמו השקל הראשון. אם התועלת גדלה לוגריתמית ביחס לעושר, אז הכפלה של הפרס מוסיפה בכל פעם תוספת תועלת קבועה בלבד - בעוד ההסתברות ממשיכה להתחצות. הסדרה מתכנסת, והשווי הסובייקטיבי של המשחק יוצא סכום קטן וסביר לגמרי.

ההסבר המשלים: לקזינו אין אינסוף כסף

גם בלי תורת התועלת יש כאן בעיה מעשית. אם לבנק שמאחורי המשחק יש הון מוגבל, נניח מיליארד שקלים, אז מרגע שהפרס עובר את הסכום הזה המשחק פשוט אינו יכול לשלם. חיתוך הסדרה בנקודה כזאת מוריד את התוחלת מאינסוף לסכום צנוע - כמה עשרות שקלים בלבד. כל הכסף הגדול מסתתר בזנב של אירועים שההסתברות שלהם אפסית, ושאיש אינו מסוגל לכבד בפועל.

ולסיום, בשביל הפרופורציה: ההסתברות שהמשחק יימשך יותר מעשר הטלות היא פחות מאחד למאה, ובשבעה משחקים מתוך שמונה תצאו עם 8 שקלים או פחות.