בספרו "אריתמטיקה אוניברסליס" הציג אייזיק ניוטון חידה שנראית במבט ראשון כמו תרגיל פשוט ביחס ישר - עד שמנסים לפתור אותה ומגלים שהיא מסרבת להסתדר.

הסיבה מוסתרת בפרט אחד קטן: העשב במרעה אינו כמות קבועה שממתינה לשוורים. הוא ממשיך לצמוח כל הזמן שהם אוכלים.

הנתונים:

12 שוורים אוכלים את כל העשב שבשדה בגודל 3 ושליש דונם בתוך 4 שבועות.

21 שוורים אוכלים את כל העשב שבשדה בגודל 10 דונם בתוך 9 שבועות.

כמה שוורים יאכלו את כל העשב שבשדה בגודל 24 דונם בתוך 18 שבועות?

נניח שכל השדות זהים: העשב מתחיל באותה כמות לדונם, צומח בקצב אחיד וזהה, וכל שור אוכל אותה כמות בשבוע.

רמז דק

נסו לחשוב מה בדיוק השוורים אוכלים. הם אוכלים שני דברים: את העשב שכבר היה בשדה כשהם נכנסו אליו, ואת כל העשב שהספיק לצמוח במהלך השבועות שבהם רעו. ככל שהזמן ארוך יותר, החלק השני גדול יותר - ולכן אי אפשר להשתמש כאן ביחס ישר פשוט.

רמז עבה

סמנו שלושה נעלמים: a = כמות העשב ההתחלתית בדונם אחד, b = כמות העשב שצומחת בדונם אחד במשך שבוע, c = כמות העשב ששור אחד אוכל בשבוע.

עבור שדה בגודל S דונם שנאכל כולו על ידי n שוורים בתוך T שבועות מתקיים:

S × (a + T × b) = n × T × c

הציבו את שני הנתונים, קבלו שתי משוואות, ומצאו מהן את b ואת a ביחידות של c. אחר כך הציבו בשאלה השלישית.

פתרון

התשובה: 36 שוורים.

נשתמש בסימונים מהרמז העבה ובמשוואה S(a + Tb) = nTc.

מהנתון הראשון (S=10/3 דונם, n=12, T=4): (10/3)(a + 4b) = 48c. נכפיל את שני האגפים ב-3 ונקבל 10a + 40b = 144c.

מהנתון השני (S=10, n=21, T=9): 10(a + 9b) = 189c, כלומר 10a + 90b = 189c.

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה: 50b = 45c, ולכן b = 0.9c.

נציב חזרה: 10a = 144c - 40 × 0.9c = 144c - 36c = 108c, כלומר a = 10.8c.

ועכשיו לשאלה (S=24, T=18): 24(a + 18b) = 18nc.

נציב: 24(10.8c + 18 × 0.9c) = 24(10.8c + 16.2c) = 24 × 27c = 648c.

ומכאן 648c = 18nc, ולכן n = 648/18 = 36.

שימו לב כמה מטעה כאן האינטואיציה: השדה גדל פי 7.2 לעומת השדה הראשון והזמן גדל פי 4.5, אבל מספר השוורים גדל רק פי 3 - כי ככל שהרעייה נמשכת זמן רב יותר, חלק גדול יותר מהמזון מגיע מהעשב שצומח תוך כדי.