מונטי הול היה מנחה טלוויזיה קנדי, ובמשך שנים הנחה בארצות הברית את תוכנית המשחקים "בואו נעשה עסק". החידה שנקראת על שמו הפכה לאחת המחלוקות המתמטיות המפורסמות של המאה העשרים, ואפילו מתמטיקאים ותיקים סירבו בתחילה לקבל את התשובה.

לפניכם שלוש דלתות סגורות. מאחורי אחת מהן מכונית, ומאחורי כל אחת משתי האחרות ניצבת עז. אתם בוחרים דלת אחת, נניח את דלת מספר 1, אך היא נשארת סגורה לעת עתה.

המנחה יודע בדיוק מה מסתתר מאחורי כל דלת. הוא פותח דלת אחרת, נניח את דלת מספר 3, ומגלה שם עז. הוא יעשה זאת תמיד: הוא פותח תמיד דלת שאינה הדלת שבחרתם, ותמיד דלת שיש מאחוריה עז.

עכשיו הוא מציע לכם: להישאר עם דלת מספר 1, או לעבור לדלת מספר 2.

האם כדאי לכם להחליף? ומה בדיוק הסיכוי לזכות במכונית בכל אחת מהאפשרויות?

ואם כבר פתרתם, נסו לענות גם על שאלת ההמשך: מה היה קורה אילו היו מאה דלתות, בחרתם אחת, והמנחה היה פותח תשעים ושמונה דלתות עם עזים?

רמז דק

התשובה האינטואיטיבית אומרת שנשארו שתי דלתות ולכן הסיכוי הוא חצי חצי. נסו לבדוק אותה: מה היה הסיכוי שלכם לצדוק ברגע שבחרתם, לפני שהמנחה פתח משהו? והאם הפתיחה שלו יכולה בכלל לשנות את המספר הזה?

רמז עבה

חשבו על שתי הדלתות שלא בחרתם כעל חבילה אחת. הסיכוי שהמכונית נמצאת בחבילה הזאת הוא שני שלישים, וזה נתון שאיננו משתנה. המנחה, שיודע הכול, פותח עבורכם דלת אחת מתוך החבילה ומראה בה עז, ובכך הוא בעצם מרכז את כל שני השלישים בדלת האחת שנותרה בחבילה. שימו לב שהוא לא בחר דלת באקראי, אלא ידע מראש מה יש מאחוריה.

פתרון

כדאי להחליף. מי שמחליף זוכה במכונית בהסתברות של שני שלישים, ומי שנשאר עם הבחירה המקורית זוכה בהסתברות של שליש אחד בלבד. ההחלפה מכפילה את סיכוייכם.

הדרך הפשוטה ביותר להשתכנע היא לעבור על כל המקרים. נניח שבחרתם בדלת מספר 1, ונבדוק את שלוש האפשרויות, שכל אחת מהן שקולה בהסתברותה.

אם המכונית מאחורי דלת 1, כלומר בחרתם נכון, המנחה פותח אחת משתי דלתות העזים, והחלפה תוביל אתכם לעז. הפסדתם.

אם המכונית מאחורי דלת 2, המנחה חייב לפתוח את דלת 3, שהיא היחידה שנותרה עם עז. החלפה תוביל אתכם ישירות למכונית. זכיתם.

אם המכונית מאחורי דלת 3, המנחה חייב לפתוח את דלת 2. החלפה תוביל אתכם למכונית. זכיתם.

בשני מקרים מתוך שלושה ההחלפה מנצחת, ובמקרה אחד בלבד היא מפסידה. שני שלישים מול שליש.

מדוע האינטואיציה נכשלת כאן? מפני שאנחנו מניחים בטעות שהמנחה פתח דלת אקראית. אילו היה פותח דלת באקראי ובמקרה מתגלה בה עז, אכן היה נוצר מצב של חצי חצי. אבל המנחה יודע היכן המכונית ולעולם לא יחשוף אותה, ולכן הפתיחה שלו איננה אירוע אקראי אלא העברת מידע. המידע הזה נוגע רק לשתי הדלתות שלא בחרתם, ולכן הוא איננו משנה כלל את ההסתברות של הדלת שלכם, שנשארה שליש.

מעניין לדעת שכאשר פורסמה התשובה הזאת בטור של מרילין ווס סוואנט בשנת 1990, היא קיבלה אלפי מכתבי מחאה, רבים מהם מבעלי תואר דוקטור למתמטיקה, שטענו בתוקף שהיא טועה. גם המתמטיקאי הדגול פול ארדש התקשה לקבל את הפתרון עד שהראו לו סימולציה ממוחשבת. התשובה נכונה, וכל ניסוי חוזר מאשש אותה.

ולשאלת ההמשך: דווקא גרסת מאה הדלתות היא שהופכת את העניין למובן מאליו. הסיכוי שפגעתם במכונית בבחירה הראשונה הוא אחד חלקי מאה. לאחר שהמנחה, שיודע הכול, פתח תשעים ושמונה דלתות ובכולן עזים, נותרה דלת אחת בלבד מכל השאר, וכל תשעים ותשעה המאיות מרוכזים בה. כאן כמעט אף אחד לא מהסס להחליף, וזה בדיוק אותו היגיון עצמו שפועל גם כששלוש הדלתות בלבד.