אפס בסוף מספר נוצר בכל פעם שמכפילים בעשר. ועשר, כידוע, הוא מכפלה של שתיים בחמש.

בפירוק של 100! לגורמים ראשוניים יש הרבה יותר גורמי 2 מגורמי 5, ולכן כל גורם 5 ימצא לעצמו בן זוג. די אפוא לספור כמה פעמים מופיע הגורם 5. שימו לב שמספרים כמו 25, 50, 75 ו-100 תורמים שני גורמי 5 כל אחד.

כל אפס בסוף המספר מגיע מזוג של גורם 2 וגורם 5. גורמי ה-2 מרובים בהרבה, ולכן מספר האפסים נקבע כולו על ידי מספר גורמי ה-5.

נספור אותם בשלבים:

כפולות של 5 בטווח 1 עד 100: 100 חלקי 5 שווה 20 מספרים, וכל אחד מהם תורם לפחות גורם 5 אחד.

כפולות של 25: 100 חלקי 25 שווה 4 מספרים - 25, 50, 75 ו-100 - וכל אחד מהם תורם גורם 5 נוסף.

כפולות של 125: אין כאלה עד 100, ולכן כאן הספירה נעצרת.

סך הכול 20 ועוד 4, כלומר 24 אפסים.

הכלל הזה קרוי על שם לז'נדר: מספר האפסים בסוף n! שווה לסכום המנות השלמות של n בחלוקה ל-5, ל-25, ל-125 וכן הלאה, עד שהמנה מתאפסת.

רוצים לבדוק את עצמכם? בסוף 1000! יש 200 ועוד 40 ועוד 8 ועוד 1, כלומר 249 אפסים.