צילום: Bjørn Christian Tørrissen, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0)

בשנת 1934 שרבט סטודנט שוודי בן שמונה עשרה בשם אוסקר רויטרסוורד, בשולי מחברת לטינית, שרשרת של קוביות שיוצרות יחד משולש. הוא לא ניסה לצייר שום דבר מיוחד. רק כשסיים הבחין שהצורה שיצא לו לצייר אינה יכולה להתקיים בשום עולם תלת-ממדי.

עשרים וארבע שנים אחר כך, בלי להכיר את הציור השוודי, פרסמו המתמטיקאי רוג'ר פנרוז ואביו הפסיכיאטר ליונל פנרוז מאמר קצר בכתב העת הבריטי לפסיכולוגיה ובו אותה צורה בדיוק. הם כינו אותה "אי-אפשרות בצורתה הטהורה ביותר". מ.כ. אשר ראה את המאמר, ובנה עליו כמה מן היצירות המפורסמות שלו, ובהן "מפל המים" משנת 1961.

המשולש נראה כמו שלושה מוטות בעלי חתך מרובע, המחוברים זה לזה בשלוש פינות בזוויות ישרות. כל פינה בנפרד סבירה לחלוטין. רק כשהעין מנסה להרכיב את שלושתן יחד מתגלה שהמוט השלישי חייב להיות בו-זמנית קרוב וגם רחוק - וזה בלתי אפשרי.

ובכל זאת, בשכונת איסט פרת' שבמערב אוסטרליה, בטיילת הנמל של קלייסברוק, ניצב מאז שנת 1999 פסל מתכת גדול. מי שעומד בנקודה מסוימת אחת בטיילת רואה מולו את המשולש הבלתי אפשרי, סגור ומושלם, בדיוק כמו בציור. התצלום המצורף לחידה צולם מאותה נקודה בדיוק.

השאלה: אם הצורה אינה יכולה להתקיים, מה בעצם עומד שם בפרת'? מה בדיוק העין שוגה בו כשהיא מסתכלת בציור, ומדוע די בצעד אחד הצידה כדי שהכול יתפרק?

רמז דק

הציור על הנייר הוא דו-ממדי. שאלו את עצמכם כמה עצמים תלת-ממדיים שונים יכולים ליצור בדיוק את אותה תמונה שטוחה על הרשתית.

ואז שאלו מה תעשו כדי לבדוק זאת - והתשובה היא הפעולה הפשוטה ביותר שיש: תזוזה.

רמז עבה

כשהמוח רואה שני קווים שנפגשים בתמונה, הוא מניח כברירת מחדל ששני המוטות שהם מייצגים נפגשים גם במרחב. ההנחה הזאת נכונה כמעט תמיד בעולם האמיתי, ולכן היא הפכה לאוטומטית.

אבל היא נכונה רק אם שני המוטות נמצאים באותו מרחק מן העין. מה קורה אם אחד מהם רחוק פי שלושה מן האחר?

פתרון

הפסל בפרת' אינו משולש כלל. הוא צורה פתוחה ושבורה: אחד המוטות מנותק לחלוטין מן המוט שנראה מחובר אליו, ושני קצותיהם נמצאים במרחקים שונים מאוד מן הצופה. הקצה ה"רחוק" גדול פיזית בהרבה מן הקצה ה"קרוב", וגודלו נבחר בקפידה כך שבהיטל מנקודת התצפית האחת יראו שניהם בדיוק באותו גודל, וקווי המתאר שלהם ייפגשו בלי מרווח.

מנקודת התצפית הזאת המוח עושה את מה שהוא עושה תמיד: הוא מקבל תמונה דו-ממדית ומנחש איזה עצם תלת-ממדי יצר אותה. ניחוש כזה לעולם אינו יחיד - לכל תמונה שטוחה מתאימים אינסוף עצמים אפשריים - ולכן המוח נעזר בהנחות ברירת מחדל. ההנחה החזקה מכולן היא זו: אם שני קווים נפגשים בתמונה, העצמים שהם מייצגים נפגשים גם במציאות. ההנחה הזאת נכונה בהסתברות עצומה, שכן צירוף מקרים של יישור מושלם הוא נדיר ביותר; ובדיוק לכן היא מייצרת אשליה מושלמת כאשר מישהו טורח לבנות את צירוף המקרים הזה בכוונה.

ברגע שהצופה זז מטר אחד הצידה, המרווח בין הקצוות נפתח, שני המוטות מתגלים כמנותקים, והצורה הופכת למה שהיא באמת - שלושה מוטות מכופפים שאינם סוגרים דבר.

יש כאן גם מסקנה מתמטית ולא רק פסיכולוגית. רוג'ר פנרוז עצמו הראה בשנת 1992 שאפשר למדוד את "מידת האי-אפשרות" של הציור: נותנים לכל קטע בציור מספר שמייצג את מרחקו מן הצופה, ומתקדמים סביב המשולש פינה אחר פינה. כל מעבר בפינה מכפיל את המרחק בגורם קבוע. אחרי סיבוב מלא חוזרים אל הקטע הראשון - ומקבלים עבורו מרחק שונה מזה שהתחלנו בו. היחס בין השניים הוא מספר שאינו 1, וזוהי בדיוק המידה שבה הציור אינו עקבי. צורה אפשרית תחזיר תמיד 1.

מכאן גם התשובה לשאלה למה כל פינה בנפרד נראית תקינה. אי-האפשרות אינה נמצאת באף פינה בודדת; היא נולדת רק מן ההליכה סביב המעגל כולו. זו אותה תופעה שמופיעה במקומות רבים במתמטיקה - תכונה שהיא מקומית תקינה לחלוטין ובכל זאת אינה ניתנת להרחבה לכל המרחב.