שאלה שנראית פשוטה עד שמנסים לענות עליה מהר: כמה פעמים במהלך יממה שלמה מחוג השעות ומחוג הדקות מצביעים בדיוק לאותו כיוון?

מול העיניים שלנו שעון קיר רגיל, עם שנים עשר מספרים על הלוח. מחוג הדקות משלים סיבוב מלא בכל שעה, ומחוג השעות משלים סיבוב מלא בכל שתים עשרה שעות. שניהם נעים ברציפות, בלי קפיצות.

בשתים עשרה בדיוק שני המחוגים מתלכדים, וזה ברור. אבל זה קורה גם בשעות אחרות, ולא תמיד במקומות שהיינו מנחשים.

כמה פעמים בדיוק מתלכדים שני המחוגים במהלך יממה של עשרים וארבע שעות?

שימו לב: התשובה האינטואיטיבית "עשרים וארבע" איננה נכונה.

ואם כבר פתרתם, נסו לענות גם על שאלת ההמשך: כמה פעמים ביממה שני המחוגים מצביעים לכיוונים מנוגדים בדיוק, כלומר יוצרים ביניהם זווית שטוחה של מאה שמונים מעלות?

רמז דק

אל תספרו את ההתלכדויות אחת אחת. שאלו את עצמכם שאלה אחרת: בכמה מעלות מדביק מחוג הדקות את מחוג השעות בכל שעה שעוברת?

מחוג הדקות עושה שלוש מאות שישים מעלות בשעה, ומחוג השעות עושה שלושים מעלות בשעה. ההפרש בין השניים הוא שקובע כאן הכול.

רמז עבה

המהירות של מחוג הדקות ביחס למחוג השעות היא שלוש מאות שלושים מעלות בשעה. כדי להתלכד שוב, מחוג הדקות צריך לצבור עליו יתרון של סיבוב שלם, כלומר שלוש מאות שישים מעלות.

מכאן שהזמן שעובר בין התלכדות להתלכדות הוא שלוש מאות שישים חלקי שלוש מאות שלושים שעות, כלומר שתים עשרה חלקי אחת עשרה שעות. זה קצת יותר משעה וחמש דקות.

עכשיו בדקו כמה פעמים נכנס פרק זמן כזה בתוך שתים עשרה שעות, ואל תשכחו לספור נכון את ההתלכדות שבתחילת המחזור ואת זו שבסופו.

פתרון

מחוגי השעון מתלכדים עשרים ושתיים פעמים ביממה, ולא עשרים וארבע.

מחוג הדקות משלים סיבוב אחד בשעה, כלומר שלוש מאות שישים מעלות בשעה. מחוג השעות משלים סיבוב אחד בשתים עשרה שעות, כלומר שלושים מעלות בשעה. ההפרש בין המהירויות הוא שלוש מאות שלושים מעלות בשעה.

אחרי כל התלכדות, מחוג הדקות צריך לצבור יתרון של סיבוב שלם כדי להשיג את מחוג השעות מחדש. הזמן הדרוש לכך הוא 360 חלקי 330 שעות, כלומר 12 חלקי 11 שעות, שהן שעה אחת, חמש דקות וחמש אחת עשרה של דקה.

בתוך שתים עשרה שעות נכנסים בדיוק אחד עשר פרקי זמן כאלה, ולכן יש בדיוק אחת עשרה התלכדויות בכל חצי יממה: בשתים עשרה, ואחריה בערך ב-1:05, ב-2:11, ב-3:16 וכן הלאה, עד ההתלכדות שנופלת בערך ב-10:54. ההתלכדות הבאה אחריה נופלת שוב על שתים עשרה, והיא כבר שייכת למחזור הבא.

אחת עשרה התלכדויות בשתים עשרה שעות, ולכן עשרים ושתיים ביממה שלמה.

הסיבה שהאינטואיציה נכשלת היא שבין השעה אחת עשרה לשעה שתים עשרה אין התלכדות נפרדת. המחוגים נפגשים שם רק בשתים עשרה עצמה, ולכן נעלמת פגישה אחת בכל חצי יממה.

תשובה לשאלת ההמשך: גם המצב שבו המחוגים מנוגדים בדיוק מתרחש עשרים ושתיים פעמים ביממה. הנימוק זהה לחלוטין: כדי לעבור ממצב מנוגד אחד למצב המנוגד הבא דרוש שוב פרק זמן של 12 חלקי 11 שעות, ולכן מתקבלות אחת עשרה פעמים בכל חצי יממה.