אל תחפשו את המספר בניחושים. חפשו אותו במקום שבו ספרות כבר חוזרות על עצמן במחזוריות מושלמת - בפיתוח העשרוני של שבר פשוט מאוד.

שאלו את עצמכם: איזה שבר, כשכותבים אותו כמספר עשרוני, מתחיל לחזור על עצמו אחרי בדיוק שש ספרות?

חשבו את 1 חלקי 7. תקבלו 0.142857142857142857... - מחזור באורך שש ספרות בדיוק.

עכשיו חשבו גם את 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 ו-6/7. תגלו שכולם מורכבים מאותו מחזור, רק שכל אחד מהם מתחיל ממקום אחר בתוכו.

וזה בדיוק מה שאנחנו מחפשים: הכפלה במספר בין 1 ל-6 מזיזה את נקודת ההתחלה של המחזור, ולא משנה את הספרות עצמן.

קחו את שש הספרות של המחזור, כתבו אותן כמספר שלם - וזו התשובה.

התשובה: 142857

נבדוק את כל ההכפלות:

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

בכל שש התוצאות מופיעות אותן שש ספרות - 1, 4, 2, 8, 5, 7 - ותמיד באותו סדר מחזורי. רק נקודת ההתחלה קופצת.

מאיפה זה מגיע?

המספר 142857 הוא המחזור של השבר 1/7. כלומר 1/7 = 0.142857142857... והמחזור חוזר על עצמו בדיוק כל שש ספרות.

כשמכפילים את 1/7 במספר k בין 1 ל-6, מקבלים את k/7 - וגם הוא בעל אותו מחזור, רק מתחיל ממקום אחר. הנה כולם:

1/7 = 0.142857...
2/7 = 0.285714...
3/7 = 0.428571...
4/7 = 0.571428...
5/7 = 0.714285...
6/7 = 0.857142...

מכיוון שהמספר השלם 142857 הוא בדיוק המחזור הזה, ההכפלות שלו יורשות את אותה תכונה.

הזהות שמסבירה הכול

אפשר לנסח את זה גם באלגברה נקייה. מתקיים:

142857 = (10⁶ - 1) חלקי 7 = 999999 חלקי 7

ומכאן נובעת מיד עובדה יפה במיוחד:

142857 × 7 = 999999

ההכפלה בשבע שוברת את הקסם - במקום סיבוב מתקבלת שורה של תשיעיות. וזה לא מקרי: שבע הוא בדיוק המכנה שיצר את המחזור.

מה קורה מעבר לשבע?

142857 × 8 = 1142856. שימו לב: אם לוקחים את הספרה הראשונה, 1, ומחברים אותה לסוף - 142856 + 1 = 142857. המספר חוזר אל עצמו גם כאן, רק בדרך עקיפה.

המשפחה שאליה הוא שייך

מספרים כאלה נקראים מספרים מחזוריים. הם נוצרים ממכנים שנקראים ראשוניים בעלי מחזור מלא - ראשוניים p שהמחזור של 1/p אורכו p פחות 1 בדיוק.

שבע הוא הקטן שבהם, ולכן 142857 הוא המספר המחזורי הראשון. הבא בתור הוא 17: המחזור של 1/17 אורכו שש עשרה ספרות - 0588235294117647 - וגם הוא מסתובב באותה צורה בכל הכפלה עד שש עשרה.

אחריהם באים 19, 23, 29, 47 ועוד. השאלה אם יש אינסוף ראשוניים כאלה עדיין פתוחה - זו השערת ארטין, שאיש עוד לא הוכיח.