אפשר לנעול שתי ספרות כמעט מיד, בלי לנחש אפילו פעם אחת.

ראשית חשבו על הגודל: אם המספר גדול מדי, הכפלה בארבע כבר תיתן חמש ספרות - וחמש ספרות לעולם לא יהיו היפוך של מספר בן ארבע ספרות. מה זה אומר על ספרת האלפים?

שנית שימו לב לקצוות: ספרת האחדות של המספר המקורי הופכת לספרת האלפים של התוצאה, וספרת האלפים של המקורי הופכת לספרת האחדות של התוצאה. והתוצאה, אל תשכחו, מתחלקת בארבע.

נסמן את ספרות המספר, משמאל לימין בכתיב המתמטי, כ-א, ב, ג, ד.

מכיוון שהמכפלה בארבע חייבת להישאר בת ארבע ספרות, ספרת האלפים א קטנה מ-3. מכיוון שהיא גם ספרת האחדות של מספר שמתחלק בארבע, היא זוגית. שתי המסקנות יחד משאירות אפשרות אחת בלבד: א = 2.

עכשיו התוצאה נמצאת בהכרח בין 8000 ל-9999, ולכן ספרת האחדות ד גדולה מ-7. אבל התוצאה מסתיימת ב-2, ורק ספרה זוגית מתאימה. נשארת אפשרות אחת: ד = 8.

נשארו שתי ספרות באמצע. כתבו את המספר כ-2 ב ג 8, פתחו את המשוואה "ארבע כפול המספר שווה למספר ההפוך", ותגלו שהיא מצטמצמת למשוואה אחת קצרה מאוד.

התשובה: 2178

2178 × 4 = 8712

ואכן 8712 הוא 2178 קרוא מהסוף להתחלה.

איך מגיעים לזה בלי לנחש

סימנו את המספר 2 ב ג 8 והראינו בשלב הרמזים שספרת האלפים היא 2 וספרת האחדות היא 8. נציב:

4 × (2000 + 100ב + 10ג + 8) = 8000 + 100ג + 10ב + 2

אגף שמאל שווה 8032 + 400ב + 40ג, ואגף ימין שווה 8002 + 100ג + 10ב. נעביר אגפים ונקבל:

30 + 390ב = 60ג, כלומר 2ג = 1 + 13ב.

ב חייבת להיות ספרה שלמה. עבור ב = 0 מקבלים 2ג = 1, בלתי אפשרי. עבור ב = 1 מקבלים 2ג = 14, כלומר ג = 7. עבור ב = 2 ומעלה ג יוצאת גדולה מ-9. נשארה אפשרות אחת: ב = 1, ג = 7.

המספר הוא אפוא 2178, והוא היחיד בין ארבע הספרות שמקיים את התנאי.

יש לו אח תאום

אם מחליפים את הכופל 4 בכופל 9, מתקבל מספר אחר ויחיד: 1089 × 9 = 9801. גם כאן התוצאה היא בדיוק ההיפוך.

ומשפחה שלמה מאחוריהם

שני המספרים האלה הם רק הראשונים בשתי סדרות אינסופיות. שותלים תשיעיות באמצע - והתכונה נשמרת:

21978 × 4 = 87912
219978 × 4 = 879912
2199978 × 4 = 8799912

10989 × 9 = 98901
109989 × 9 = 989901

מספרים בעלי התכונה הזאת נקראים מספרים הפיכים (reverse multiples). בבסיס עשרוני הכופלים היחידים שמאפשרים היפוך מלא של כל הספרות הם 4 ו-9, וכל שאר הכופלים פשוט לא מייצרים אף פתרון.