יש רק עשר קוביות אפשריות בסך הכול: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 ו-729. שימו לב שהסדר שבו מופיעות הספרות אינו משפיע על הסכום כלל - ולכן מספיק לעבור על צירופים של שלוש ספרות, בלי חשיבות לסדר.

הסכום המרבי האפשרי הוא 3 כפול 729, כלומר 2187 - ולכן אין טעם לחפש מחוץ לתחום. מצד שני, אם כל הספרות קטנות הסכום יהיה קטן מדי: בלי אף ספרה גדולה מ-5, הסכום לא יעבור את 375. כלומר בכל פתרון חייבת להופיע ספרה גדולה יחסית. נסו להתחיל דווקא מהספרה 7 - הקובייה שלה, 343, היא כמעט מספר בן שלוש ספרות בפני עצמו.

ארבעה מספרים בלבד: 153, 370, 371 ו-407.

בדיקה:

153: 1 ועוד 125 ועוד 27 שווה 153.

370: 27 ועוד 343 ועוד 0 שווה 370.

371: 27 ועוד 343 ועוד 1 שווה 371.

407: 64 ועוד 0 ועוד 343 שווה 407.

שלושה מארבעת הפתרונות בנויים סביב הקובייה 343, בדיוק כפי שרמזנו - וזה אינו מקרה: כדי להגיע לסכום בסדר גודל של כמה מאות דרוש לפחות מרכיב אחד גדול.

איך מוצאים אותם בלי מחשב

אין כאן נוסחה קסומה. זו תכונה נדירה שמתקיימת במספרים בודדים, ואפשר לאתר אותם בסריקה קצרה: קיימים רק 220 צירופים של שלוש ספרות בלי חשיבות לסדר, ורובם המכריע נפסל מיד לפי שיקולי סדר גודל.

המספרים האלה נקראים מספרי ארמסטרונג, או בשמם הציורי יותר - מספרים נרקיסיסטיים: מספרים שמשחזרים את עצמם מהספרות שלהם, כאילו הם מתבוננים בבבואה של עצמם.

ההגדרה מתרחבת גם למספרים ארוכים יותר, כשמעלים כל ספרה בחזקת מספר הספרות. למשל 1634: 1 ועוד 1296 ועוד 81 ועוד 256 שווה בדיוק 1634.

ולסיום עובדה יפה: המשפחה הזאת סופית. בבסיס עשר קיימים בסך הכול 88 מספרים נרקיסיסטיים, והגדול שבהם הוא בן 39 ספרות. הסיבה פשוטה - מספר בן n ספרות הוא לפחות 10 בחזקת n פחות 1, ואילו סכום הספרות בחזקת n הוא לכל היותר n כפול 9 בחזקת n. מרגע מסוים הצד הראשון גדול מהשני לתמיד, ואז כבר אין מה לחפש.