על קיר הבית ברחוב מצוירת ספרה אחת: 7. השכן ממול מתעקש שזו ספרה נדירה במיוחד ברחוב, והשכן מלמעלה טוען שדווקא כמעט בכל בית שני מסתתרת שביעייה.

אפשר לסגור את הוויכוח בעזרת חשבון קצר.

כמה מהמספרים השלמים מ-1 עד 1000 מכילים לפחות ספרה 7 אחת?

שימו לב: מספר כמו 77 נספר פעם אחת בלבד ולא פעמיים. גם 700, 717 ו-970 נכנסים לספירה - כל מספר שיש בו לפחות שביעייה אחת, בכל מקום שהוא.

אזהרה קטנה: מי שינסה לספור אחד-אחד יבזבז את היום. יש דרך אלגנטית שפותרת את זה בשלוש שורות.

רמז דק

לפעמים הרבה יותר קל לספור דווקא את מי שלא עומד בתנאי, ואז להחסיר.

שאלו את עצמכם: כמה מספרים בטווח כלל לא מכילים את הספרה 7?

רמז עבה

כדי שכל המספרים יהיו באותו אורך, כתבו את כולם בשלוש ספרות עם אפסים מובילים: 000, 001, 002 ... 999. זה בדיוק 1000 מחרוזות.

עכשיו ספרו כמה מהן לא מכילות 7 בכלל: לכל אחת משלוש העמדות יש 9 אפשרויות - כל הספרות חוץ מ-7.

לסיום בדקו מה קורה בקצוות: המחרוזת 000 מייצגת את 0 שאינו בטווח, והמספר 1000 כן בטווח. בדקו אם הם משנים את התוצאה.

פתרון

התשובה: 271 מספרים.

נכתוב את כל המספרים מ-000 עד 999 בשלוש ספרות. יש בדיוק 1000 מחרוזות כאלה, והן מייצגות את המספרים 0 עד 999.

מחרוזת אינה מכילה 7 אם ורק אם בכל אחת משלוש העמדות מופיעה אחת מתשע הספרות 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. שלוש עמדות בלתי תלויות, תשע אפשרויות לכל אחת:

9 × 9 × 9 = 729 מספרים ללא אף ספרה 7.

לכן מספר המספרים שיש בהם לפחות 7 אחת הוא 1000 - 729 = 271.

נשאר לתקן את הקצוות. המחרוזת 000 מייצגת את המספר 0 שאינו בטווח, אבל היא ממילא נספרה בצד של "בלי 7" ולכן אינה גורעת דבר מ-271. המספר 1000 נוסף לטווח ואין בו ספרה 7, ולכן גם הוא אינו מוסיף דבר.

ובסך הכול: בין 1 ל-1000 יש בדיוק 271 מספרים שמכילים לפחות ספרה 7 אחת - קצת יותר מרבע מהם.

אז מי צדק? שניהם טעו. זו לא ספרה נדירה, אבל היא גם לא בכל בית שני.

ההסבר הזה עובד לכל ספרה שאינה 0 ולכל אורך: בין 1 ל-10 בחזקת n יש 10 בחזקת n פחות 9 בחזקת n מספרים שמכילים אותה. עבור מיליון, למשל, כבר יותר מחצי מהמספרים מכילים 7.