קחו מספר בן שלוש ספרות. העלו כל אחת מהספרות שלו בחזקה שלישית, וחברו את שלוש התוצאות.

ברוב המקרים תקבלו מספר אחר לגמרי. למשל 123 נותן 1 + 8 + 27 = 36, רחוק מאוד מהמקור.

אבל יש מספרים נדירים שבהם החישוב הזה מחזיר בדיוק את המספר שממנו יצאתם.

מצאו את כל המספרים בני שלוש הספרות ששווים לסכום החזקות השלישיות של ספרותיהם. כמה כאלה יש בסך הכול, ולמה אין יותר?

רמז דק

אל תעברו על 900 המספרים אחד־אחד. שימו לב לעובדה פשוטה: הסכום של החזקות השלישיות אינו מושפע כלל מסדר הספרות.

גם 153, גם 351 וגם 513 מייצרים בדיוק את אותו סכום.

רמז עבה

לכן אפשר לעבוד עם קבוצות ספרות במקום עם מספרים. יש רק 220 שלשות לא מסודרות של ספרות. לכל שלשה חשבו את סכום החזקות השלישיות, ובדקו אם התוצאה היא מספר תלת ספרתי שספרותיו הן בדיוק אותה שלשה.

אפשר לצמצם עוד: הספרה הגדולה ביותר בשלשה חייבת להיות 6 ומעלה, שהרי אם כולן 5 או פחות הסכום לא יעבור 375, ואז המספר קטן מדי ביחס לספרות שהנחנו.

ואם מופיעה הספרה 9, הסכום כבר לפחות 729 - כלומר המספר חייב להתחיל ב־7, ב־8 או ב־9.

פתרון

יש בדיוק ארבעה מספרים כאלה: 153, 370, 371 ו־407.

1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153

3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370

3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371

4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407

למה אין יותר

הסכום המרבי האפשרי הוא 3 כפול 9³, כלומר 2187, ולכן המשחק סגור מלכתחילה בתחום צר. בתוך התחום הזה מספיק לסרוק את 220 השלשות הלא מסודרות במקום 900 מספרים, ומי שעושה זאת בסבלנות מגלה שרק ארבע מהן חוזרות אל עצמן.

שימו לב ש־370 ו־371 הם שכנים - תופעה שנובעת מכך ש־0³ = 0 ו־1³ = 1, כלומר שתי הספרות האחרונות תורמות בדיוק את ערכן.

הרחבה

מספרים ששווים לסכום ספרותיהם בחזקת מספר הספרות נקראים מספרים נרקיסיסטיים, או מספרי ארמסטרונג. 153 הוא המפורסם שבהם.

הדבר המפתיע הוא שכמותם סופית לחלוטין: בבסיס עשר קיימים בדיוק 88 מספרים נרקיסיסטיים, והגדול שבהם הוא בן 39 ספרות. הסיבה פשוטה - מספר בן n ספרות גדל כמו 10ⁿ, ואילו סכום החזקות של ספרותיו גדל רק כמו n כפול 9ⁿ. מרגע ש־n מספיק גדול הסכום פשוט אינו יכול להדביק את המספר, והחיפוש נעצר מעצמו.