צילום: Nerdybeng, Wikimedia Commons (נחלת הכלל)

יש כאן כלל אחד, והוא כל כך פשוט שאפשר להסביר אותו לילד בכיתה ג'.

בחרו מספר שלם וחיובי כלשהו, ואז חזרו שוב ושוב על שני הצעדים הבאים:

אם המספר זוגי - חלקו אותו בשתיים.
אם המספר אי-זוגי - הכפילו אותו בשלוש והוסיפו אחת.

ננסה עם 6:

6 ← 3 ← 10 ← 5 ← 16 ← 8 ← 4 ← 2 ← 1

ננסה עם 7, וכאן זה כבר מתחיל להתפרע:

7 ← 22 ← 11 ← 34 ← 17 ← 52 ← 26 ← 13 ← 40 ← 20 ← 10 ← 5 ← 16 ← 8 ← 4 ← 2 ← 1

ננסה עם 27, ותצטרכו סבלנות: המסלול מטפס עד 9232, יורד, מטפס שוב, ורק אחרי 111 צעדים הוא נוחת על 1.

כל מספר שתנסו - יגיע בסוף ל-1. תמיד. כולם.

השאלה: האם קיים מספר שלם וחיובי שלעולם לא יגיע ל-1?

רמז דק

שימו לב לצעד האי-זוגי. אם n אי-זוגי, אז 3n אי-זוגי, ולכן 3n+1 הוא תמיד זוגי. כלומר אחרי כל קפיצה למעלה מגיעה מיד לפחות חלוקה אחת למטה.

זה מסביר למה הסדרה לא בורחת לאינסוף בקלות. אבל האם זה מספיק כדי להבטיח שהיא תמיד נוחתת?

רמז עבה

יש רק שתי דרכים שבהן מספר לא יגיע ל-1: או שהמסלול שלו בורח לאינסוף ולא נעצר לעולם, או שהוא נכנס למעגל סגור שאינו כולל את המספר 1 (כמו הלולאה 4 ← 2 ← 1 ← 4 שכולם נופלים אליה).

עכשיו שאלו את עצמכם שאלה אחרת: אם בדקו מיליארדי מיליארדים של מספרים וכולם נחתו על 1 - האם זו הוכחה?

פתרון

התשובה הכנה: אף אחד בעולם לא יודע.

זו השערת קולץ, שהוצגה בשנת 1937 על ידי המתמטיקאי הגרמני לותר קולץ. היא טוענת שכל מספר שלם חיובי מגיע בסופו של דבר ל-1 - וכבר כמעט תשעים שנה איש לא הצליח להוכיח אותה ואיש לא הצליח להפריך אותה.

מה כן יודעים

בעזרת מחשבים נבדקו כל המספרים עד מעבר ל-2.95 כפול 10 בחזקת 20 - זהו מספר בן 21 ספרות - וכולם, בלי יוצא מן הכלל, הגיעו ל-1. ידוע גם שאם קיים מעגל אחר, הוא חייב להיות ארוך במיוחד: מאות מיליוני צעדים לפחות.

בשנת 2019 הוכיח טרנס טאו תוצאה חלקית וחזקה: כמעט כל מספר מגיע בסופו של דבר לערך קטן מאוד. זו ההתקדמות המשמעותית ביותר בנושא - אבל "כמעט כל" איננו "כל".

למה זה כל כך קשה

המסלולים האלה מכונים מספרי ברד, על שם אבני ברד שעולות ויורדות בתוך ענן לפני שהן נופלות ארצה. הכלל אמנם פשוט, אבל הוא מערבב שתי פעולות שמתנהגות בעולמות שונים לגמרי: החלוקה בשתיים מדברת בשפת הבסיס הבינארי, וההכפלה בשלוש מדברת בשפה אחרת. אף כלי מתמטי קיים לא מצליח לתפוס את שתיהן יחד.

פול ארדש, מגדולי המתמטיקאים של המאה העשרים, אמר על החידה הזאת משפט שנעשה מפורסם: המתמטיקה עדיין אינה בשלה לבעיות מסוג זה. הוא הציע פרס של 500 דולר לפותר. הפרס עדיין לא נדרש.

מה אפשר ללמוד מזה

בדיקה של מיליארד מקרים איננה הוכחה. במתמטיקה יש שאלות שנראות תמימות לחלוטין בניסוח שלהן ומסתירות מאחוריהן תהום. וזו בדיוק הסיבה שכדאי לנסות: הכלל כאן פשוט מספיק כדי שכל אחד יוכל לשחק איתו על דף נייר.